2、逻辑回归

1、逻辑回归模型

逻辑回归是一种针对二分类问题的算法。在二分类算法中，标签 y 往往都等于 0 或者 1，以此表示某个样本是否属于某个类别。比如在一个针对猫的二分类任务中，y=0 表示这张图片不是猫，y=1 表示这张图片是猫。

对于输入的 x，逻辑回归算法能够输出一个预测值，我们称之为 $\hat{y}$，这代表对真实标签 Y 的估计。准确的说 $\hat{y}$ 是当给定输入特征 x 时，预测标签 y 为 1 的概率。

一般来说 x 是一个 n 维的向量，表示一个样本包含 n 个特征。约定逻辑回归的参数是 w 和 b，w 也是一个 n 维的向量，b 是一个实数。给定一个 x 以及参数 w 和 b， 如何产生输出 $\hat{y}$ 呢？线性回归 $\hat{y}=w^{T}x+b$ 可以吗。显然这对于二分类并不是一个好的算法，因为我们希望 $\hat{y}$ 能够输出 y 为 1 的概率，所以 $\hat{y}$ 的值应该在0和1之间。而线性回归 $w^{T}x+b$ 可能会比1大很多或者是一个负，这对于概率就失去了意义。

所以这里我们采用逻辑回归，而逻辑回归就只是在线性回归的基础上加入了 sigmoid 激活函数。如何实现逻辑回归呢？根据刚刚的描述，我们先创建一个线性回归模型

$$z=w^{T}x+b$$

接着再将线性回归的输出传入 sigmoid 函数

$$\hat{y}=sigmoid(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

这样就使线性模型转变成了一个非线性的模型。我们可以用下图来描述逻辑回归的结构。

根据 sigmoid 函数的表达式，可以描绘出它的曲线：

通过 sigmoid 曲线可以看到，不管 z 取到何值，sigmoid 函数总能巧妙的把 z 映射到 0 到 1 的范围内，这样就能很好的表示样本属于某个类别的概率。sigmoid 函数是使逻辑回归成为一个非线性模型的关键，所以往往又把 sigmoid 函数叫做逻辑函数。

给定包含 m 个样本的数据集，假设每个样本包含一个 n 维的特征向量 x 和 一个标签 y，则可以表示为：

{ ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , ⋯ , ( x ( m ) , y ( m ) ) }   . \{(x(1), y(1)), ⋯ , (x(m), y(m))\} \ . {(x(1),y(1)),⋯,(x(m),y(m))} .

则对于数据集中的第 i 个样本：

$${\hat{y}}^{(i)}=sigmoid(z^{(i)})=\frac{1}{1+e^{-z^{(i)}}},其中z^{(i)}=w^T{x}^{(i)}+b.$$

我们希望逻辑回归模型的预测值接近于样本的真实标签，即 ${\hat{y}}^{(i)}\approx y^{(i)}$

2、逻辑回归的代价函数

为了优化逻辑回归模型的参数 w 和 b，需要定义一个代价函数。在讨论代价函数之前，先学习一下损失函数。损失函数(Loss function) 用来计算对单个样本的预测值 ${\hat{y}}^{(i)}$ 和期望输出 $y^{(i)}$ 之间的差异。换句话说，损失函数作用是计算模型在单个样本上的误差。

在线性回归中，损失函数为平方差函数，其是凸函数，执行梯度下降算法时，loss 能很好地收敛，从而得到更优的参数。理论上来说，我们也可以在逻辑回归中使用平方差函数为损失函数，但因为逻辑回归中存在 sigmod 函数，最终得到的损失函数并不能保证是凸函数，存在许多局部最优解，这对于梯度下降是不利的。所以逻辑回归模型需要定义新的损失函数。
参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/tianguiyuyu/article/details/79644347

逻辑回归使用交叉熵作为损失函数。以下是它的定义：

当 $y^{(i)}$ = 1 时，$L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})=-log({\hat{y}}^{(i)})$，此时 ${\hat{y}}^{(i)}$ 越靠近 1，$L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$ 越小。在学习过程中，我们要使 $L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$ 越来越小，使需要让 ${\hat{y}}^{(i)}$ 逐渐靠近 1。 当 $y^{(i)}$ = 0 时，$L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})=-log(1-{\hat{y}}^{(i)})$，此时 ${\hat{y}}^{(i)}$ 越靠近 0，$L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$ 越小。在学习过程中，我们要使 $L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$ 越来越小，使需要让 ${\hat{y}}^{(i)}$ 逐渐靠近 0。

代价函数(Cost function) 用来计算模型在整个训练集中所有样本的损失的平均值。与损失函数不同的是，它体现的是整体的误差，通过整体误差的高低也可以判断模型性能的好坏。代价函数的定义如下：

逻辑回归的本质是最大似然估计，其代价函数的详细推导可参考： https://www.cnblogs.com/loongofqiao/p/8642045.html

3、梯度下降

需要注意的是，逻辑回归模型的自变量是样本的特征向量 x，因变量是预测结果 $\hat{y}$。而代价函数是用来评估这个模型的性能，从它的定义也可以看出它的自变量为模型的参数 w 和 b，它的因变量为模型在整个训练集上的误差。对于不同的 w 和 b，损失函数输出的整体误差也不尽相同。学习的目的就是找到使代价函数达到最小的参数 w 和 b，换句话说就是找到使整体误差最小的参数 w 和 b，而梯度下降算法刚好可以达到这个目的。

模型参数 w 与 x 的维度一样，都是 n 维的向量。但是为了更好地绘图，在这里定义 w 和 b 都是单一实数。代价函数 J(w,b) 是在 水平轴 w 和 b 上的曲面 因此曲面的高度就是 J(w,b)在某一点的值。理想的代价函数是一个凸函数，这样就存在一个全局最优值（最小值），同时它也是梯度下降想要到达的位置，它位于图中最底下的红点处。

对于逻辑回归，几乎所有的初始化方法都有效，通常用 0 来进行初始化。随机初始化也有效，但是对于逻辑回归通常不这么做。但是因为函数是凸函数，无论在哪里初始化，应该达到同一点或大致相同的点。梯度下降算法从初始点开始，每到达一点，都会先找到最陡的下坡方向，然后朝着这个方向向下移动到一个新的位置并且更新参数 w 和 b，重复这两个步骤，最终可以到达至曲面的最低点附近。而这个最低点对应的 w 和 b，就是我们想要得到的 w 和 b。

在数学上，这个最陡的下坡方向可以用代价函数对参数 w 和 b 的偏导来体现。则通过刚刚的描述，我们可以把梯度下降定义为：

重复以下步骤 {$$w=w-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$$ $$b=b-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$$ }

其中 $\alpha$ 被称为 学习率（learning rate），它可以用来控制梯度下降每一步移动的大小，从而控制训练的时间。如果我们令$X=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(m)});Y=(y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)});\hat{Y}=({\hat{y}}^{(1)},{\hat{y}}^{(2)},...,{\hat{y}}^{(m)}).$ 则根据链式求导法则我们可以求得：

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})=\frac{1}{m}X(\hat{Y}-Y{)}^T$$ $$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})$$