15 动态规划

动态规划与分治法的比较：

1. 相同点：都是递归地求解子问题，然后将它们的解组合起来，求出原问题的解。
2. 不同：分治法划分的子问题不应该有重叠的情况。而动态规划适用于这种情况，它对每个子子问题只求解一次，然后将其保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算。
3. 动态规划通常用来求一个最优解的问题，这种问题通常有很多可行解。

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动态规划有两种等价的实现方法：

1. 带备忘录的自顶向下法：按自然的递归形式编写过程，但过程中会保存每个子问题的解(通常保存在一个数组或散列表中)。当需要一个子问题的解时，将首先检查是否已经保存过此解。如果是，将直接返回保存的值。否则，按通常方式求解这个子问题。
2. 自底向上法：需要恰当定义子问题的“规模”的概念，以使任何子问题的求解都只依赖于“更小”的子问题的求解。我们先求解规模小的子问题。在求解一个问题时，它所依赖的那些规模更小的子问题已经求解出了，求解完后，会保存这个自问题的解。

比较：第二种方法由于没有真正递归地考察到所有可能的子问题，而且没有频繁的递归函数调用的开销。所以第二种方法在时间复杂度上会有更小的系数。所以，我们通常使用第二种方法。

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最优子结构： 问题的最优解是由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。

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何时使用动态规划求解：
待求解问题必须具备两个要素：　
1. 最优子结构(当然，具备此条件，意味着此问题也可能适合用贪心算法)
2. 子问题重叠
　　

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实例：
15.1 钢条切割