HDU-2993--MAX Average Problem详解

此题是关于DP的优化问题，具体解题思路贴在后面

此题大意：

读入一列正数N，a1, a2, …, aN，以及一个数F。定义ave(i,j)=ai到aj的平均值，j-i+1>=k，

求一个最大的ave（i，j）

 

首先我先把代码贴上来：

 

View Code

 1 //====================================================================
 2 //Name       :hdu 2993 MAX Average Problem
 3 //Author     :hxf
 4 //copyright  :http://blog.sina.com.cn/u/2904525152
 5 //Description:动态规划DP斜率优化
 6 //Data       :2012.7.17
 7 //========================================================================
 8 #include <iostream>
 9 #include "stdio.h"
10 #include<algorithm>
11 #define LEN 100001
12 using namespace std;
13 int temp[LEN],head,tail;//用来控制判断图上点的取舍
14 /////////////////////////////
15 int GetInt(){/////////////////这里是读入外挂（没这个这题貌似AC不掉）
16     char ch=getchar();
17     while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
18     int num=0;
19     while(ch>='0'&&ch<='9'){
20         num=num*10+ch-'0';
21         ch=getchar();
22     }
23     return num;
24 }
25 ////////////////////
26 void solve(int n,int k)
27 {
28     double sum[LEN];//用来保存部分和
29     memset(sum,0,sizeof(sum));
30     sum[0]=0;
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32     {
33         int x=0;
34         //scanf("%d",&x);
35         x=GetInt();
36         sum[i]=sum[i-1]+x;
37     }
38     //////////////////////////////////输入完成
39     memset(temp,0,sizeof(temp));
40     temp[0]=0;head=0;tail=0;
41     double max=0;
42 //////////////////具体实现优化
43     for(int i=k;i<=n;i++)
44     {
45         int now=i-k;
46         while(head<tail)
47         {
48             double k1=(sum[temp[tail]]-sum[temp[tail-1]])/(temp[tail]-temp[tail-1]);
49             double k2=(sum[now]-sum[temp[tail]])/(now-temp[tail]);
50             if(k1>=k2)
51                 tail--;
52             else
53                 break;//去掉向上凸出来的点
54         }
55         //////////////////////////////////
56         tail++;
57         temp[tail]=now;
58 ///////////////////////////////
59         while(head<tail)
60         {
61             double k1=(sum[temp[head]]-sum[i])/(temp[head]-i);
62             double k2=(sum[temp[head+1]]-sum[i])/(temp[head+1]-i);
63             if(k1<=k2)
64                 head++;//下凸线中去掉斜率较小的点（从左往右）
65             else
66                 break;
67         }
68         double t=(sum[temp[head]]-sum[i])/(temp[head]-i);
69         if(t>max)
70             max=t;
71     }
72     printf("%.2lf\n",max);
73 }
74 int main()
75 {
76     int n=0,k=0;
77     while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
78     {
79         solve(n,k);
80     }
81 return 0;
82 }

现在来分析解题思路：

   首先一定会设序列ai的部分和：Si=a1+a2+…+ai，，特别的定义S0=0。

   这样可以很简洁的表示出目标函数ave(i,j)=(Sj-S(i-1))/(j-(i-1))!

   如果将S函数绘在平面直角坐标系内，这就是过点Sj和点Si-1直线的斜率！

于是问题转化为：平面上已知N+1 个点，Pi(i, Si)，0≤i≤N，求横向距离大

于等于F的任意两点连线的最大斜率。

 

构造下凸折线

   有序化一下，规定对i<j，只检查Pj向Pi的连线，对Pi不检查与Pj的连线。

也就是说对任意一点，仅检查该点与在其前方的点的斜率。于是我们定义点Pi

的检查集合为

Gi = {Pj, 0≤j≤i-F}

   特别的，当i<F时，Gi为空集。

   其明确的物理意义为：在平方级算法中，若要检查ave(a, b)，那么一定有Pa∈Gb；

因此平方级的算法也可以这样描述，首先依次枚举Pb点，再枚举Pa∈Gb，同时检查k(PaPb)。//k为斜率

 

   若将Pi和Gi同时列出，则不妨称Pi为检查点，Gi中的元素都是Pi的被检查点。

   当我们考察一个点Pt时，朴素的平方级算法依次选取Gt中的每一个被检查点p，

考察直线pPt的斜率。但仔细观察，若集合内存在三个点Pi, Pj, Pk，且i<j<k，三个点形成如下图

所示的的关系，即Pj点在直线PiPk的上凸部分：k(Pi, Pj)>k(Pj,Pk)，就很容易可以证明Pj点是多余的。

    若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pi)，那么可以看出，Pt点一定要在直线PiPj的上方，即阴

影所示的1号区域。同理若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pk)，那么Pt点一定要在直线PjPk的下

方，即阴影所示的2号区域。

 

     综合上述两种情况，若PtPj的斜率同时大于PtPi和PtPk的，Pt点一定要落在两阴影的重叠部分，

但这部分显然不满足开始时t>j 的假设。于是，Pt落在任何一个合法的位置时，PtPj的斜率要么小于PtPi，

要么小于PtPk，即不可能成为最大值，因此Pj点多余，完全可以从检查集合中删去。这个结论告诉我们，

任何一个点Pt的检查集合中，不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点，因此我们可以删去每一个上凸点，

剩下的则是一个下凸折线。最后需要在这个下凸折线上找一点与Pt 点构成的直线斜率最大——显然这条直

线是在与折线相切时斜率最大，如图所示。

维护下凸折线

     这一小节中，我们的目标是：用尽可能少的时间得到每一个检查点的下凸折线。

     算法首先从PF开始执行：它是检查集合非空的最左边的一个点，集合内仅有一个元素P0，

而这显然满足下凸折线的要求，接着向右不停的检查新的点：PF+1,PF+2, …, PN。

 

     检查的过程中，维护这个下凸折线：每检查一个新的点Pt，就可以向折线最右端加入一个新的点Pt-F，

同时新点的加入可能会导致折线右端的一些点变成上凸点，我们用一个类似于构造凸包的过程依次删去这些上凸点，

从而保证折线的下凸性。由于每个点仅被加入和删除一次，所以每次维护下凸折线的平摊复杂度为O(1)，

即我们用O(N)的时间得到了每个检查集合的下凸折线。

 

最后的优化：利用图形的单调性

     最后一个问题就是如何求过Pt点，且与折线相切的直线了。一种直接的方法就是二分，每次查找的复杂度是O(log2N)。

但是从图形的性质上很容易得到另一种更简便更迅速的方法：

由于折线上过每一个点切线的斜率都是一定的，而且根据下凸函数斜率的单调性，如果在检查点Pt 时找到了折线上的已知一个切点A，

那么A以前的所有点都可以删除了：过这些点的切线斜率一定小于已知最优解，不会做出更大的贡献了。

     于是另外保留一个指针不回溯的向后移动以寻找切线斜率即可，平摊复杂度为为O(1)。

     至此，此题算法时空复杂度均为O(N)，得到了圆满的解决。

 

呼呼，终于贴完了

本人菜鸟一个

第一次发算法的贴，实在经验不足，若是写的不好，大家多多指教哈~

特别感谢：

《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》---周源

提供了许多关于数形结合解题的思路。

                                                                           幻o飞

                                                                         2012.7.17与凌晨2点

转载于:https://www.cnblogs.com/Free-rein/archive/2012/08/09/2630190.html