欧拉函数打表

本文介绍了一种高效的求解欧拉函数的方法——Euler筛法。通过使用此方法,可以在较大范围内快速计算出每个数的欧拉函数值。具体实现包括初始化数组、遍历质数并更新合数的欧拉函数等步骤。

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const int maxn = 1e7 + 10;
LL phi[maxn];
LL p[maxn];
LL tot;
void Euler()
{
    phi[1] = 1;
    for (LL i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if (!phi[i])
        {
            phi[i] = i - 1;
            p[tot++] = i;
        }
        for (LL j = 0; j < tot && i*p[j] < maxn; j++)
        {
            if (i % p[j])
                phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
            else
            {
                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
                break;
            }
        }
    }
}
### 欧拉函数的数学定义 欧拉函数是一种重要的数论函数,用于描述小于或等于某个正整数 \( n \) 的数中与 \( n \) 互质的数的个数。其符号通常表示为 \( \varphi(n) \)[^1]。 具体来说,如果给定一个正整数 \( n \),则欧拉函数 \( \varphi(n) \) 表示满足条件 \( \gcd(i, n) = 1 \) 的所有正整数 \( i \)(\( 1 \leq i \leq n \))的数量[^2]。 #### 基本性质 1. 如果 \( n = p^k \),其中 \( p \) 是素数且 \( k \geq 1 \),那么 \( \varphi(n) = p^k - p^{k-1} \)[^3]。 2. 若两个正整数 \( n \) 和 \( m \) 互质 (\( \gcd(n, m) = 1 \)),则有 \( \varphi(nm) = \varphi(n) \cdot \varphi(m) \)[^3]。 3. 对于任何正整数 \( n \),可以利用唯一分解定理得到: \[ \varphi(n) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right), \] 其中 \( p \) 是 \( n \) 的不同质因数[^4]。 --- ### 编程实现 以下是基于上述公式的 Python 实现: ```python def euler_phi(n): result = n # 初始化结果为 n factor = 2 # 开始寻找因子 while factor * factor <= n: # 只需遍历到 sqrt(n) if n % factor == 0: # 找到了一个因子 while n % factor == 0: # 移除该因子的所有幂次 n //= factor result -= result // factor # 更新结果 factor += 1 if n > 1: # 如果剩下的部分大于 1,则它是一个质因子 result -= result // n return result ``` 此代码通过逐步移除 \( n \) 中所有的质因数并应用公式计算 \( \varphi(n) \)[^5]。 --- ### 示例运行 假设输入 \( n = 10 \): 执行过程如下: 1. 初始状态:`result = 10`, `factor = 2`. 2. 发现 \( 10 \% 2 = 0 \), 将 \( 10 \div 2 = 5 \). 3. 更新 `result`: `result = result - result // 2 = 10 - 5 = 5`. 4. 继续检查下一个可能的因子. 5. 当前剩余值为 \( 5 \). 因为其本身是质数,更新 `result`: `result = result - result // 5 = 5 - 1 = 4`. 最终返回的结果为 \( \varphi(10) = 4 \). ---
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