扔硬币——组合数的应用_为什么抛硬币可以用组合数-优快云博客

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本文详细解析了一道经典的概率问题，涉及硬币投掷实验，使用C++代码实现计算在特定条件下硬币正反面出现的确切概率。通过数学算法和编程技巧，解决了至少m枚硬币为反面情况下，恰好k枚硬币为正面的概率计算。

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链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5757/D
来源：牛客网

题目描述
有n枚硬币，每枚硬币扔出来是正面和反面的概率各占50%。小明同时扔下了n枚硬币后，已知至少有m枚硬币是反面。请问恰好有k枚硬币是正面的概率是多少。
输入描述:
输入t，代表有t组数据。每组数据输入一个数n，m，k，代表有n枚硬币，抛出以后至少有m枚是反面的情况下，恰好有k个正面的概率。
(t<=1000，n<1e5，m<=1000，k<=n)

输出描述:
对于结果是p/q，输出分数取模1e9+7后的结果。

示例1
输入

1
10 3 5
输出

797520667

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
ll fact[maxn];
ll infact[maxn];
ll ksm(ll a,ll b)  ///  a^b
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}


void init()
{
    fact[0]=1;
    infact[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
        infact[i]=infact[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
    }
}

ll C(ll a, ll b)
{
    return fact[a]%mod*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod;
}

int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,m,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        if(m+k>n)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll x=ksm(2,n);
        ll y=C(n,k);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            x=(x-C(n,i)+mod)%mod;
        }
        ll ans=y*ksm(x,mod-2)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}