63、星图上拉普拉斯算子的边界控制方法解析

星图上拉普拉斯算子的边界控制方法解析

1. 求解薛定谔方程相关参数

在处理相关问题时，我们首先要计算解 (y) 和势 (q)。计算解 (y) 时，利用其与控制函数 (f^T) 的关系，通过公式 ((W^T f^T)(x) = f^T(T - x) + \int_{x}^{T} w(x, \tau) f^T(T - \tau)d\tau) 来计算。当 (x = T - 0) 时，可得 (y(T) = (W^T f^T)(T - 0) = f^T(T - T + 0) = f^T(+0))，这里 (y(T)) 的值大致等于为了在区间 ([0, T]) 上得到 (y) 而必须应用的边界控制函数 (f^T) 的初始值。

计算势 (q) 时，因为 (y) 是薛定谔方程的解，所以 (q(T) = \frac{y’‘(T)}{y(T)} = \frac{\frac{d^2}{dT^2} f^T(+0)}{f^T(+0)})。需要注意的是，在这个公式中，要先取极限，然后再对控制函数 (f^T(+0)) 关于 (T) 求导。

总结可得定理：薛定谔微分表达式 (-\frac{d^2}{dx^2} + q(x)) 在 ([0, \infty)) 上具有局部可积势 (q) 的响应算子 (R^T) 能确定区间 ([0, T / 2]) 上的唯一势。该方法的优势在于，将逆问题的解本质上简化为积分算子核的重构和另一个积分算子的求逆，其余部分只是积分和求导操作。而且这种方法具有局部性，为了恢复靠近 (x = 0) 的势，只需要知道小 (T) 值下的响应算子 (R^T)。

2. 标准拉普拉斯算子在星图上的应用

研究等边星图上拉普拉斯算子的边界响应算子，设边的公共长度为