45、安巴楚米扬类型定理的深入探讨

安巴楚米扬类型定理的深入探讨

1. 安巴楚米扬类型定理相关基础

在安巴楚米扬类型定理的研究中，有一些基础的结论和条件是非常关键的。对于薛定谔和拉普拉斯算子定义域内的函数，满足诺伊曼条件在端点处对于证明定理起着至关重要的作用。若要证明 $q(x) \equiv 0$，只需满足 $\lambda_1(L_{q}^{st}(I)) = 0$ 以及 $\lambda_n(L_{q}^{st}(I)) - \lambda_n(L^{st}(I)) = o(\frac{1}{n})$。

2. 区间 - 图的特殊性质

在标准拉普拉斯算子的研究中，有一个重要的结论：标准拉普拉斯算子在度量图上的谱与在区间上的标准（诺伊曼）拉普拉斯算子的谱重合，当且仅当该图就是这个区间。实际上，还能证明一个更强的结果：标准拉普拉斯算子在度量图和相同总长度的区间上的谱间隙相等，当且仅当该图是区间。不过这个结果是在移除所有度数为 2 的顶点的前提下成立的。

下面是定理 14.3 的具体内容：
设 $L^{st}(\Gamma)$ 是连通有限紧致度量图 $\Gamma$ 上的标准拉普拉斯算子，总长度为 $L(\Gamma)$。若 $L^{st}(\Gamma)$ 的第一个（非零）特征值与相同长度 $L(I) = L(\Gamma)$ 的区间 $I$ 上的标准拉普拉斯算子 $L^{st}(I)$ 的第一个非平凡特征值重合，即 $\lambda_2(L^{st}(\Gamma)) = \lambda_2(L^{st}(I)) \equiv (\frac{\pi}{L})^2$，那么图 $\Gamma$ 与区间 $I$ 重合。

证明过程如下：
- 利用定理 12.