20、小图的零集分析

小图的零集分析

1. 引言

在研究图的标准拉普拉斯算子和特征多项式时，零集的分析是非常重要的。除了之前引入的零集，我们还关注简化特征多项式的零集。这些零集对于理解图的特征和性质具有重要意义。

2. 简化特征多项式的零集定义

简化特征多项式的零集定义如下：
- (Z^ _G = {z \in T^N : P^ _G(z) = 0})
- (\bold{Z}^ _G = {\boldsymbol{\phi} \in \bold{T}^N : P^ _G(e^{i\boldsymbol{\phi}}) = 0})

西瓜图的简化集 (\bold{Z}^s_W) 和 (\bold{Z}^a_W) 也有类似的定义。

3. 不同边数图的零集情况

3.1 单边图

单边图的零集由单位圆上的一个或两个点给出：
- (Z_{G(1.1)} = {-1, 1})，(Z^s_{G(1.1)} = {1})，(Z^a_{G(1.1)} = {-1})
- (Z_{G(1.2)} = {1})，(Z^* {G(1.2)} = Z^s {G(1.2)} = Z^a_{G(1.2)} = {1})

用实坐标表示为：
- (\bold{Z} {G(1.1)} = {0, \pi})，(\bold{Z}^s {G(1.1)} = {0})，(\bold{Z}^a_{G(1.1)} = {\pi})
- (\bold{Z} {G(1.2)} = {0})