洛谷P3097 - [USACO13DEC]最优挤奶Optimal Milking

线段树解决最大贡献问题

最新推荐文章于 2025-09-03 20:00:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/LgP3097.html

本文介绍了一种使用线段树数据结构解决特定数列最大贡献问题的方法。通过维护四种状态，即不选两端、仅选一端或两端全选的情况，实现了高效的更新和查询。适用于动态修改数列并快速求解最大贡献值的场景。

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Description

给出一个\(n(n\leq4\times10^4)\)个数的数列\(\{a_n\}(a_i\geq1)\)。一个数列的最大贡献定义为其中若干个不相邻的数的和的最大值。进行\(m(m\leq5\times10^4)\)次操作，每次修改数列中的一个数并询问此时的最大贡献。

Solution

线段树。
对于线段树上每个节点\([L,R]\)，维护四个值\(f_{00},f_{01},f_{10},f_{11}\)，分别表示\(a_L,a_R\)都不选，不选\(a_L\)选\(a_R\)，选\(a_L\)不选\(a_R\)，\(a_L,a_R\)都选的最大贡献。那么\(ans=max\{f[rt]\}\)。
接下来只需要考虑如何合并。其实很简单，只要保证中间的两个不全是\(1\)就好：
\[ f_{00}=max\{f_{00}[Ls]+f_{00}[Rs],f_{01}[Ls]+f_{00}[Rs],f_{00}[Ls]+f_{10}[Rs]\} \\ f_{01}=max\{f_{00}[Ls]+f_{01}[Rs],f_{01}[Ls]+f_{01}[Rs],f_{00}[Ls]+f_{11}[Rs]\} \\ f_{10}=max\{f_{10}[Ls]+f_{00}[Rs],f_{11}[Ls]+f_{00}[Rs],f_{10}[Ls]+f_{10}[Rs]\} \\ f_{11}=max\{f_{10}[Ls]+f_{01}[Rs],f_{11}[Ls]+f_{01}[Rs],f_{10}[Ls]+f_{11}[Rs]\}\]

时间复杂度\(O(mlogn)\)。

Code

//[USACO13DEC]最优挤奶Optimal Milking
#include <cstdio>
typedef long long lint;
inline char gc()
{
    static char now[1<<16],*s,*t;
    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}
    return *s++;
}
inline int read()
{
    int x=0; char ch=gc();
    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();
    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x;
}
inline int max(int x,int y) {return x>y?x:y;}
const int N=16e4+10;
int n,m;
#define Ls (p<<1)
#define Rs (p<<1|1)
int rt; lint f00[N],f01[N],f10[N],f11[N];
inline void update(int p)
{
    f00[p]=max(f00[Ls]+f00[Rs],max(f01[Ls]+f00[Rs],f00[Ls]+f10[Rs]));
    f01[p]=max(f00[Ls]+f01[Rs],max(f01[Ls]+f01[Rs],f00[Ls]+f11[Rs]));
    f10[p]=max(f10[Ls]+f00[Rs],max(f11[Ls]+f00[Rs],f10[Ls]+f10[Rs]));
    f11[p]=max(f10[Ls]+f01[Rs],max(f11[Ls]+f01[Rs],f10[Ls]+f11[Rs]));
}
void ins(int p,int L0,int R0,int x,int v)
{
    if(L0==x&&x==R0) {f00[p]=f01[p]=f10[p]=0,f11[p]=v; return;}
    int mid=L0+R0>>1;
    if(x<=mid) ins(Ls,L0,mid,x,v);
    else ins(Rs,mid+1,R0,x,v);
    update(p);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    rt=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) ins(rt,1,n,i,read());
    lint ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),v=read();
        ins(rt,1,n,x,v);
        ans+=max(max(f00[rt],f01[rt]),max(f10[rt],f11[rt]));
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}