量子计算与量子信息学习笔记（纯个人理解版）

量子计算与量子信息学习笔记（纯个人理解版）

量子力学：真正的黑色魔法演算。 ——阿尔伯特·爱因斯坦

什么是量子：微观世界中的离散单位，是某些物理量（例如电子）的最小不可分单位。
什么是量子力学：一个数学框架或物理理论构建的规则集。

预备知识

1、希尔伯特空间

向量空间：满足向量加法和标量乘法的非空集合$\mathcal{H}$。
向量加法：$\mathcal{H}+\mathcal{H}\to \mathcal{H}$
标量乘法：$C\cdot \mathcal{H}\to \mathcal{H}$
内积空间：具有内积的向量空间$\mathcal{H}$。
（向量a和向量a的内积是a的模，向量a和向量b的内积是两个向量对应位置坐标相乘相加）
柯西序列：序列中的元素随着项数的增加，它们之间的距离逐渐趋近于零。
希尔伯特空间：一个完备的内积空间，即在这个内积空间内任何一个柯西序列的向量序列都有极限。

2、线性算子

将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素的映射，同时保持向量空间中的线性结构。具体的，对于线性算子$T$，对于任意向量$v$和$w$，以及任意标量$c$，都有一下两个性质：
加法：$T(v+w)=T(v)+T(w)$
齐次性：$T(cv)=cT(v)$

3、伴随算子与厄密共轭

在量子计算中，我们通常只对系统的离散时间演化进行研究，即幺正变换。对于任意算子$A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$，在空间$\mathcal{H}$中，都存在唯一的线性算子$A^{†}$，满足：$$(A|\phi ⟩,|\psi ⟩)=(|\phi ⟩,A^{†}|\psi ⟩)$$
对于所有的$|\phi ⟩,|\psi ⟩\in \mathcal{H}$都成立，我们将算子$A^{†}$称为$A$的伴随算子。如果$n$维希尔伯特空间中的一个算子是通过矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$来表示的，那么它的伴随矩阵可以通过$A$的转置共轭矩阵$(A^{\ast }{)}^T$来表示：
$$A^{†}=(b_{ij}{)}_{n\times n}$$
其中对任意的$i,j=1,\cdot \cdot \cdot ,n$，都有$b_{ij}=a_{ji}^{\ast }$。（若$\alpha =a+bi$，则${\alpha }^{\ast }=a-bi$）

如果一个算子$A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$满足$A^{†}=A$，那么称算子$A$是厄米的或自伴算子。物理学上也将厄米算子成为可观测量。

4、幺正变换

$U\subseteq \mathcal{L}(\mathcal{H})$是一个有界算子。如果U的伴随算子与它的逆相同，即
$$U^{†}U=UU$$