Java 二叉树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：每个结点有零个或多个子结点；没 有父结点的结点称为根结点；每一个非根结点有且只有一个父结点；除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相 交的子树 。

树的概念

重点

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

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了解

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

树与非树(图)的差别:
子树是不相交的
除根节点外,每个节点有且仅有一个父节点
有N个节点的树有N - 1 条边

树应用: 文件系统管理(目录.文件)

二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

特殊的二叉树

1. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全 二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果 一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

二叉树的遍历

根据访问结点操作发生位置命名

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根 的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

层序
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从 左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是 层序遍历。

二叉树的表现形式

二叉树和链表类似，主要通过结点的组合来表示二叉树

class Node {        
    int val;        // 数据域    
    Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树    
    Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树    
    Node parent;    // 可选的，双亲的引用 
}
 

 Node root = null;   // 表示没有结点，如果是树的根，则表示根一个结点都没有，即空树

常见操作

1.前中后序遍历(包含递归/非递归)
2.层序遍历
3.判断是否为满二叉树/完全二叉树/左右子树相同/两树相同…见面试题

搜索树

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值 它的左右子树也分别为二叉搜索树

操作-查找
若根节点不为空:
如果根节点的key==查找key 返回true
如果根节点的key>查找key 查找左子树
如果根节点的key<查找key 查找右子树
否则返回false
操作-插入

1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入
2. 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

操作-删除
设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent

1. cur.left == null
   1. cur 是 root，则 root = cur.right
   2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
   3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right
2. cur.right == null
   1. cur 是 root，则 root = cur.left
   2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
   3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left
3. cur.left != null && cur.right != null
   1. 需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被 删除节点中，再来处理该结点的删除问题

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性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度 的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：$lo{g}_{2}N$
差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$

TreeMap 和 TreeSet 即 java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set；实际上用的是红黑树