素数判断与计数算法详解-优快云博客

素数：一个大于1的自然数，除了它自己和1以外没有其他因子。

问题1：给定自然数n，判断其是否为素数
一个自然数若为合数，则其必有一个不大于其平方根的因子。

//自然数n是否是素数，若是则返回true，反之，返回false
bool IsPrime(int n)
{
    if(n < 2)
        return false;

    for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i)
    {
        if(n % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

问题2：求小于自然数n的所有素数的个数
方法一：
当自然数r为质数时，其整数倍数全为合数，如果r已经被判断不是质数了，那么再找到r后面的质数来把这个质数的倍数筛掉。
用bool类型数组flags[n]保存对应的状态位，初始化全为true，先从下标2开始，2为素数，其后面的倍数全为合数，合数对应的状态数组元素置为false；查找下一个状态为true的元素，为3，则3为素数，同理，其后面的倍数全为合数，合数对应的状态数组元素置为false，依次下去。。。

int countPrimes(int n) 
{       
        if(n <= 2)
            return 0;

        if(n == 3)
            return 1;

        int size = (n + 1) / 2;
        //动态分配标志空间（除2以外的偶数必为合数，直接排除，优化空间）
        bool *flags = new bool[size];

        int i;
        for(i = 1; i < size; ++i)
        {
            //初始化状态位，下标i中保存的是自然数2i + 1的状态
            flags[i] = true;
        }

        for(i = 1; i < size; ++i)
        {
            if(flags[i])
            {
                int j = 3 * i + 1;
                for(; j < size; j += 2 * i + 1)
                {
                    //自然数2i + 1的正整数倍数（除本身以外的）的状态位置false
                    flags[j] = false;
                }
            }
        }

        //初始化计数（状态数组未包含素数2的状态，故从1开始计数）
        int cnt = 1;
        for(i = 1; i < size; ++i)
        {
            if((flags[i]) && ((2 * i + 1) < n))
                ++cnt;
        }

        delete []flags;
        return cnt;
    }

方法二：若自然数r是否为素数，判断不大于其平方根的素数是否为其因子即可。

int NumberOfPrime(int n)
{
    if(n <= 2)
        return 0;

    int *primes = new int[n];
    int length;

    primes[0] = 2;
    length = 1;

    int i;
    for(i = 3; i < n; ++i)
    {
        int squRoot = (int)sqrt(n * 1.0);
        bool flag = true;
        int j;
        for(j = 0; j < length; ++j)
        {
            if(primes[j] <= squRoot)
            {
                if(i % primes[j] == 0)
                {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            else
                break;
        }

        if(flag)
        {
            primes[length] = i;
            ++length;
        }
    }
    delete []primes;

    return length;
}