100盏灯的问题

房间里有100盏电灯，编号为1，2，3……100，每盏灯上有一个按钮，初始时灯全都是关的。编好号的100位同学由房间外依次走进去，将自己编号的倍数的灯的按钮全部按一次，例如第一位同学把编号是1的倍数的灯的按钮按一下（此时100盏灯全亮），第二位同学把编号是2的倍数的灯的按钮按一下（此时只有50盏灯亮着，50盏被这个人按灭了）……第100位同学把编号是100的倍数的灯（即编号为100的灯）的按钮按一下，请问依次走完后，还有多少盏灯亮着？

方法一：常见的实现方法：

package com.ldw.test;

public class light100 {
	
	public static void main(String[] args){
		//创建一个100的数组
		//模拟100盏灯，1表示开，0表示关
		byte light[] = new byte[100];
		//最后灯开着的数量
		int result = 0;
		
		//将灯初始化为全关
		for(int i = 0; i < light.length; i++){
			light[i] = 0;
		}
		//模拟同学进场进行开关灯, i 是灯的遍历， j是学生的遍历
		//传统方法
		for(int i = 1; i <= 100; i++){
			for(int j = 1; j <= 100; j++){
				if(i%j == 0){
					if(light[i-1] == 0){
						light[i-1] = 1;
					}else{
						light[i-1] = 0;
					}
				}
			}
		}
		
		//统计开灯数
		for(int i = 0; i < light.length; i++){
			if(light[i] == 1){
				result ++;
			}
		}
		
		System.out.println("result===" + result);
		
	}

}

方法二：通过对灯编号进行约数计数来降低复杂度，约数个数为奇数的灯最后是开着的，约数为偶数的灯是关着的。

package com.ldw.test;

public class light100 {
	
	public static void main(String[] args){
		//创建一个100的数组
		//模拟100盏灯，1表示开，0表示关
		byte light[] = new byte[100];
		int num[] = new int[100];
		//最后灯开着的数量
		int result = 0;
		
		//将灯初始化为全关
		for(int i = 0; i < light.length; i++){
			light[i] = 0;
		}
		for(int i=0;i<num.length;i++)
			num[i]=0;
		
		//模拟同学进场进行开关灯, i 是灯的遍历， j是学生的遍历
		/*传统方法
		for(int i = 1; i <= 100; i++){
			for(int j = 1; j <= 100; j++){
				if(i%j == 0){
					if(light[i-1] == 0){
						light[i-1] = 1;
					}else{
						light[i-1] = 0;
					}
				}
			}
		}
		
		//统计开灯数
		for(int i = 0; i < light.length; i++){
			if(light[i] == 1){
				result ++;
			}
		}
		
		System.out.println("result===" + result);
		*/
		/*
		 * 过对灯编号进行约数计数来降低复杂度，约数个数为奇数的灯最后是开着的，约数为偶数的灯是关着的
		*/
		for(int i = 1; i <= 100; i ++){
			for(int j = 1; j < i; j++){
				if(i % j == 0){
					num[i-1]++;
				}
			}
		}
		for(int i = 0; i < 100; i ++){
			if(num[i] %2 == 0){
				result++;
			}
		}
		
		System.out.println("result===" + result);
		
	}

}

问题延伸：如果是n盏灯，k个人呢

这里给出复杂度为O(k*n)的约数个数算法，这里的约数个数是指ni在1-k之间的约数个数，方法一复杂度也为O(k*n)。还没想到怎么优化，读者如果有想法，希望给点指点。

代码：

package com.ldw.test;

public class demo5 {
	
	public static void main(String[] args){
		Light light=new Light(10,5);
	    light.calculate();
	    System.out.println("===========");
	    Light light2=new Light(100,100);
	    light2.calculate();
	}

}

class Light{
	private int lightNum;
	private int stuNum;
	private int result = 0;
	
	public Light(int lightNum, int stuNum){
		this.lightNum = lightNum;
		this.stuNum = stuNum;
	}
	
	public int getResult(){
		return this.result;
	}
	
	public void calculate(){
		//保存约数个数
		int num[] = new int[this.lightNum];
		//将数组初始化为0
		for(int i = 0; i < num.length; i++){
			num[i] = 0;
		}
		
		//计算每一个灯的约数个数
		for(int i = 1; i <= this.lightNum; i++){
			for(int j = 1; j <= this.stuNum; j ++){
				if(i % j == 0){
					num[i - 1]++;
				}
			}
		}
		
		for(int i = 0; i < num.length; i++){
			if(num[i] % 2 == 1){
				System.out.print(i+1+" ");
				this.result++;
			}
		}
		
		System.out.println("");
		
	}
}

输出：

1 4 6 7 8 10 
===========
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100