【狂热算法篇】小白也能会的 SPFA：图论闪电寻径者的简单原理（易懂版）

最新推荐文章于 2025-12-03 17:03:32 发布

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#算法 #图论

SPFA 算法的核心思想

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）是一种用于求解单源最短路径问题的算法，尤其适用于含有负权边的图。该算法基于 Bellman-Ford 算法改进，通过队列优化减少了不必要的松弛操作，从而提升了效率。

SPFA 的核心思想是动态逼近最短路径。算法维护一个队列，存储待优化的节点。每次从队列中取出一个节点，对其所有邻接边进行松弛操作。如果某个邻接节点的距离被更新，则将其加入队列中，以便后续进一步优化。

SPFA 与 Bellman-Ford 的区别

Bellman-Ford 算法对所有边进行固定次数的松弛操作，而 SPFA 利用队列优化，仅对可能产生优化的边进行处理。这种选择性处理使得 SPFA 在稀疏图上表现更优，平均时间复杂度可达到 O(|E|)，远优于 Bellman-Ford 的 O(|V||E|)。

SPFA 保留了 Bellman-Ford 检测负权环的能力。若一个节点被加入队列超过 |V| 次，则说明图中存在负权环。这一特性使其在需要处理负权边的场景中具有独特优势。

SPFA 的基本实现步骤

初始化阶段需要设置所有节点的距离为无穷大，源点距离为 0。将源点加入队列，并标记其处于队列中。

主循环阶段不断从队列取出节点，检查其所有邻接边。对于每条边，如果通过当前节点到达邻接节点的距离更短，则更新邻接节点的距离。若邻接节点不在队列中，则将其加入队列。

算法终止条件是队列为空。此时所有可达节点的最短路径已被求出。若算法运行过程中发现某个节点入队次数超过 |V| 次，则立即终止并报告存在负权环。

SPFA 的代码实现示例

import collections

def SPFA(graph, start):
    n = len(graph)
    distance = [float('inf')] * n
    in_queue = [False] * n
    count = [0] * n
    queue = collections.deque()
    
    distance[start] = 0
    queue.append(start)
    in_queue[start] = True
    
    while queue:
        u = queue.popleft()
        in_queue[u] = False
        
        for v, weight in graph[u]:
            if distance[u] + weight < distance[v]:
                distance[v] = distance[u] + weight
                if not in_queue[v]:
                    queue.append(v)
                    in_queue[v] = True
                    count[v] += 1
                    if count[v] > n:
                        return None  # 存在负权环
    
    return distance

该实现使用双端队列存储待处理节点，并维护三个数组：distance 记录最短距离，in_queue 标记节点是否在队列中，count 记录节点入队次数以检测负权环。