红黑树的详细解释

原创 已于 2022-10-08 02:27:06 修改 · 294 阅读 · 0 ·
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#数据结构 #算法

于 2022-10-08 02:26:38 首次发布
本文介绍了红黑树的基本概念，包括其组成元素、节点颜色限制、插入操作等，并详细阐述了保持红黑树平衡的三种调整情况。

红黑树

基本组成的概念

由搜索二叉树组成引进了红黑节点限制条件的判断。

  1. 每个结点不是红色就是黑色

这个只有两种颜色，一种黑色，一种白色。

  1. 根节点是黑色的

头节点一定是黑色的。

在这里插入图片描述

  1. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的

不可以有连续的红节点

  1. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上（简单，指的是只有一个分支），均 包含相同数目的黑色结点
  1. 每个叶子结点都是黑色的

每一个最后子节点，后面的节点是黑色的
在这里插入图片描述

红黑树的定义

基本上与二叉树相同。只是引入了枚举变量，用来定义每一个节点的颜色。

红黑树的插入

基本的东西与AVL的规则相同。只是引入了最长路径节点数量不会超过最短路径的节点个数。

第一种的情况

最简单的情况，添加节点（一般为红色）让高度增加，需要不断的向上更新节点的颜色（更改颜色，让他满足不允许有连续的红色节点）。

最后需要把头节点放置为黑色

基本结构就是

​ a（黑）

​ b （红） c（黑）

d（红） d（这个地方也可以）

在这里插入图片描述

第二种情况

​ a (黑)

​ b （红） d（黑，可以存在，也可以不存在）

c（红） c（红，这里也可以）

进行单旋（与AVL树的单旋相同）

第三种情况

​ a（黑）

​ b（红） c（黑，可以不存在）

​ d（红）

多次单旋结合最后可以得到满足条件的结果。

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本文深入探讨了红黑树的基本原理、实现方法及其在实际应用中的重要性。红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，通过一系列颜色标记和旋转操作保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度始终保持在 O(log n) 级别。文章首先介绍了红黑树的关键性质和与 AVL 树的区别，分析了红黑树在数据库索引、内存管理等领域的应用。接着，详细讲解了红黑树的插入和删除操作，以及如何通过旋转和颜色调整保持树的平衡。最后，文章通过源码分析展示了红黑树在 Java 和 Linux 内核中的实现，帮助读者更好地理解这一数据结构的实际应用和开发过程。
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简介 因为网上太多红黑树原理的讲解了，不需要再去讲解原理，所以在这就提供一些将原理不错的博客，然后主要是给红黑树代码的实现，用的c++语言模板实现红黑树，并附带详细注释。（目前只实现了红黑树的插入与查询操作，并可视化打印红黑树）。 红黑树插入操作的流程图：（参考：红黑树总结 - lukazan - 博客园 (cnblogs.com)，该博客用图详细解释了红黑树插入操作的事件，然后我用红色对其事件进行了编号，以便于和代码注释相对应） 红黑树的本质其实就是2-3树，在上面推荐的博客中也有提到。 代码
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首先，我们定义一个红黑树的节点类。这个类将包含节点的颜色、值、父节点以及左右子节点的信息。self.color = color # 'red' 或 'black'
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本题代码与100相同的树非常相似，只是在递归调用时参数由p的左子树和q的左子树、p的右子树和q的右子树比较变为p的左子树和q的右子树、q的右子树和q的左子树比较。将二叉树分为根节点和左右子树，递归判断二叉树中所有子树的结点是否相等，如果不同则返回false，判断完全部结点说明全部结点的值都相等，返回true。判断子树的根节点和另一颗树的结点是否相同，如果相同则以相同的结点为根节点判断两棵子树是否相同。一棵树是否对称与根节点无关，所以可以忽略根节点，判断根节点的左右子树是否是对称的即可。
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详细解释一下红黑树这种数据结构
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<think>我们正在讨论红黑树，它是一种自平衡的二叉查找树。根据引用[2]，红黑树是二叉排序树的一种，它在每个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色（红色或黑色），通过一些规则来确保树的大致平衡，从而保证在最坏情况下的操作时间复杂度为$O(\log n)$。 红黑树需要满足以下五个性质： 1. 每个节点要么是红色，要么是黑色。 2. 根节点是黑色的。 3. 每个叶子节点（NIL节点，空节点）是黑色的。 4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的（即不存在两个连续的红色节点）。 5. 对每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点（称为黑高相同）。 性质4和5是确保红黑树平衡的关键。性质4保证了没有连续的红色节点，性质5保证了从任意节点到叶子节点的路径上黑色节点的数量相同。这样，最长路径（红黑节点交替）不会超过最短路径（全黑）的两倍，因此树的高度大致平衡。 红黑树的基本操作包括旋转（左旋和右旋）和颜色翻转，以在插入和删除后重新平衡树。旋转操作是局部调整，不会破坏二叉搜索树的性质。 插入操作： 1. 按照二叉搜索树的规则插入节点，新节点初始为红色（因为插入红色节点可能破坏性质4，但不会破坏性质5，而插入黑色节点会破坏性质5，所以选择红色）。 2. 如果插入后父节点是黑色，则无需调整。 3. 如果父节点是红色（违反性质4），则需要调整。调整分为三种情况（根据叔叔节点的颜色）： - 情况1：叔叔节点是红色。将父节点和叔叔节点变为黑色，祖父节点变为红色，然后将祖父节点作为当前节点继续调整。 - 情况2：叔叔节点是黑色，且当前节点是父节点的右孩子。对父节点进行左旋，转换为情况3。 - 情况3：叔叔节点是黑色，且当前节点是父节点的左孩子。将父节点变为黑色，祖父节点变为红色，然后对祖父节点右旋。 删除操作： 删除操作比插入更复杂，因为可能涉及多个节点的调整。删除一个节点后，如果删除的是红色节点，不会破坏红黑树的性质；如果删除的是黑色节点，则会导致该路径上黑色节点减少（破坏性质5），需要调整。调整时根据兄弟节点的颜色和兄弟节点的子节点颜色分为多种情况。 红黑树的应用广泛，例如在Java的TreeMap、TreeSet以及C++的STL中的map和set等。 下面我们详细解释红黑树的概念和特性。</think>### 红黑树详细解析 红黑树是一种**自平衡的二叉查找树**，它在普通二叉搜索树的基础上增加了颜色标记和平衡规则，确保树的高度始终保持在$O(\log n)$级别。以下是其核心概念和特性： --- #### 一、基本概念 1. **数据结构本质** - 红黑树是二叉搜索树（BST）的扩展 - 每个节点包含： - 数据域（存储键值对） - 左/右子节点指针 - **颜色标记**（红或黑） - 父节点指针（便于回溯） 2. **特殊节点** - **NIL节点**：所有叶子节点都是黑色的空节点（哨兵节点） - **根节点**：必须是黑色 --- #### 二、五大核心特性 红黑树必须满足以下性质才能保证平衡性： 1. **颜色约束** 每个节点非红即黑 $$ \forall node \in Tree, \, color(node) \in \{ \text{red}, \text{black} \} $$ 2. **根节点规则** 根节点必须是黑色 $$ color(root) = \text{black} $$ 3. **叶子节点规则** 所有NIL叶子节点为黑色 $$ \forall leaf \in \text{NIL}, \, color(leaf) = \text{black} $$ 4. **红色节点约束** 红色节点的子节点必须为黑色（禁止连续红节点） $$ \color{red}{node} \Rightarrow color(left\_child) = \color{black}{\text{black}} \land color(right\_child) = \color{black}{\text{black}} $$ 5. **黑高一致性** 从任意节点到其所有后代NIL节点的路径包含相同数量的黑节点（黑高相等） $$ \forall \text{ paths } P_i \text{ from } node \to \text{NIL}, \, \text{black\_count}(P_i) = \text{constant} $$ --- #### 三、平衡性保证 这些特性共同确保红黑树的平衡： - **最长路径** $\leq$ **2 × 最短路径** 证明思路： - 最短路径：全黑节点（黑高$h$） - 最长路径：红黑交替（黑高$h$ + 最多$h$个红节点） - 路径长度 $\leq 2h$，满足$O(\log n)$高度 --- #### 四、核心操作原理 ##### 1. 插入操作 ```mermaid graph TD A[新节点初始为红色] --> B{父节点颜色?} B -->|黑色| C[直接插入] B -->|红色| D[检查叔叔节点] D -->|红色| E[父叔变黑, 祖父变红] D -->|黑色| F{新节点位置} F -->|外侧| G[单旋转+变色] F -->|内侧| H[双旋转+变色] ``` ##### 2. 删除操作 ```mermaid graph LR A[删除节点] --> B{被删节点颜色?} B -->|红色| C[直接删除] B -->|黑色| D[触发平衡调整] D --> E[兄弟节点分析] E -->|红| F[旋转+变色] E -->|黑| G{兄弟子节点?} G -->|有红| H[旋转+变色] G -->|全黑| I[递归向上调整] ``` --- #### 五、与AVL树对比 | 特性 | 红黑树 | AVL树 | |--------------|----------------------------|---------------------------| | **平衡标准** | 宽松（最长≤2×最短） | 严格（左右子树高度差≤1） | | **插入/删除**| 平均$O(1)$次旋转 | 平均$O(\log n)$次旋转 | | **查询效率** | 稍低（树更高） | 更高（严格平衡） | | **适用场景** | 频繁修改的数据（如Java HashMap） | 频繁查询的数据 | --- #### 六、典型应用 1. **Java集合框架** - `TreeMap`, `TreeSet`底层实现 - Java 8+的`HashMap`链表转红黑树阈值=8 2. **Linux内核** - 进程调度`completely fair scheduler (CFS)` - 内存管理`vm_area_struct` 3. **数据库系统** - MySQL的`InnoDB`索引 - Redis的有序集合`zset` > 红黑树通过牺牲严格平衡性换取更高效的动态操作性能，在需要频繁插入/删除的场景中具有显著优势[^1][^2][^3]。 ---
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