神经网络与深度学习基础教程笔记(附案例讲解)

神经网络与深度学习基础教程笔记(附案例讲解)

引言

神经网络和深度学习是人工智能领域中最重要的技术之一，它们在图像识别、自然语言处理、语音识别等领域取得了巨大的成功。本教程将从基础概念出发，逐步深入到高级主题，帮助你全面理解并掌握这些强大的工具。本文是神经网络与深度学习笔记，要想深入了解相关理论和算法知识请参考神经网络从入门到精通、matlab从入门到精通教程、matlab2020从入门到精通、ACM入门教程资料、MATLAB语言常用算法程序集、matlab通俗讲讲“小波变换”、精通MATLAB最优化计算源码、MATLAB小波分析高级技术、基于MATLAB的系统分析与设计-小波分析、小波分析基础、时间序列的小波分析。

1. 神经网络基础

什么是神经网络？

神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型。它由多个节点（或称为神经元）组成，这些节点通过连接权重相互连接。每个节点接收输入信号，经过处理后传递给下一层节点。神经网络通过调整连接权重来学习数据中的模式。

感知机

感知机是最简单的神经网络形式，由 Frank Rosenblatt 在 1957 年提出。它只有一个输入层和一个输出层，没有隐藏层。感知机用于解决二分类问题。

数学表示：
$y=f({\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i+b)$
其中，( y ) 是输出，( w_i ) 是权重，( x_i ) 是输入，( b ) 是偏置项，( f ) 是激活函数（通常是阶跃函数）。

训练过程：

• 初始化权重 ( w_i ) 和偏置 ( b )。
• 对于每个训练样本，计算输出 ( y )。
• 如果预测错误，更新权重和偏置：
  $w_i=w_i+\eta (t-y)x_i$
  $b=b+\eta (t-y)$
  其中，( \eta ) 是学习率，( t ) 是目标值。

多层感知机（MLP）

多层感知机（MLP）是包含一个或多个隐藏层的前馈神经网络。每个隐藏层可以有多个神经元，每个神经元都使用非线性激活函数（如 Sigmoid 或 ReLU）。

结构：

• 输入层：接收原始数据。
• 隐藏层：对数据进行特征提取。
• 输出层：产生最终结果。

数学表示：
假设有一个 MLP，输入层有 ( n ) 个节点，第一个隐藏层有 ( h_1 ) 个节点，第二个隐藏层有 ( h_2 ) 个节点，输出层有 ( m ) 个节点。

对于第 ( l ) 层的第 ( j ) 个节点：
$z_j^{(l)}={\sum }_{i=1}^{n_l}{w}_{ij}^{(l)}{a}_i^{(l-1)}+b_j^{(l)}$
$a_j^{(l)}=f(z_j^{(l)})$

其中，( z_j^{(l)} ) 是加权输入，( a_j^{(l)} ) 是激活值，( w_{ij}^{(l)} ) 是从第 ( l-1 ) 层的第 ( i ) 个节点到第 ( l ) 层的第 ( j ) 个节点的权重，( b_j^{(l)} ) 是偏置项，( f ) 是激活函数。

2. 激活函数

激活函数为神经网络引入非线性，使得网络能够学习复杂的模式。常见的激活函数包括：

• Sigmoid 函数：
  $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

  • 输出范围：(0, 1)
  • 缺点：容易导致梯度消失。

• Tanh 函数：
  $f(x)=\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

  • 输出范围：(-1, 1)
  • 缺点：同样容易导致梯度消失。

• ReLU 函数：
  $f(x)=\max (0,x)$

  • 输出范围：[0, +∞)
  • 优点：计算简单，有效缓解梯度消失问题。

• Leaky ReLU 函数：
  $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }x>0\\ \alpha x& \text{if }x\le 0\end{array}$

  • 输出范围：(-∞, +∞)
  • 优点：解决了 ReLU 的“死神经元”问题。

• Softmax 函数：
  $\text{softmax}(z{)}_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^K{e}^{z_j}}$

  • 输出范围：(0, 1)
  • 通常用于多分类任务的输出层，确保输出的概率之和为 1。

3. 损失函数

损失函数衡量模型预测值与真实值之间的差异。常见的损失函数包括：

• 均方误差（MSE）：
  L = 1 N ∑ i = 1 N ( y i − y ^ i ) 2 L = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i)^2 L=N1​∑i=1N​(yi​−y^​