算法导论思考题4-3.i

最新推荐文章于 2023-08-05 20:52:31 发布

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本文探讨了一种特殊的递归式 T(n)=T(n-2)+1/lgn 的求解方法，通过调和级数缩放技巧进行分析，并引入 Ei(x) 函数来辅助理解。该递归式适用于算法复杂度分析。

递归式T(n) = T(n-2) + 1/lgn

不妨假设 $n \equiv 0(mod2)$ ， $k = lg^{n}$ ，有：

$T(n) = T(2) + \sum_{i = 2}^{n}\frac{1}{lg^{i}} = T(2) + \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\frac{1}{lg^{i} + 1}$

记 $t = \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\frac{1}{lg^{i} + 1} = \frac{1}{lg^1 + 1} + \frac{1}{lg^2 + 1} + \frac{1}{lg^3 + 1} + \frac{1}{lg^4 + 1} + ... + \frac{1}{lg^\frac{n}{2} + 1}$

通过调和级数缩放方法分别有：

$t > \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\frac{1}{\left \lceil lg^{i} \right \rceil + 1} = \frac{1}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 1} + ... + \frac{1}{(k-1) + 1} = \frac{1}{4}\sum_{i = 1}^{k}\frac{2^{i}}{i} + \frac{1}{2}$

$t < \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\frac{1}{\left \lfloor lg^{i} \right \rfloor + 1} = \frac{1}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{1}{2 + 1} + ... + \frac{1}{(k-1) + 1} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{k-1}\frac{2^{i}}{i} + \frac{1}{k}$