背包问题全系列：01 背包、完全背包与多重背包的通用解法

背包问题全系列：01背包、完全背包与多重背包的通用解法

背包问题是一类经典的优化问题，涉及在背包容量限制下选择物品以最大化总价值。主要类型包括：

• 01背包：每个物品最多选一次。
• 完全背包：每个物品可选无限次。
• 多重背包：每个物品有数量限制（如最多选 $k$ 次）。

通用解法基于动态规划（DP），使用一个统一的DP数组来存储状态。核心思想是定义状态 $dp[w]$ 表示背包容量为 $w$ 时能获得的最大价值。通过遍历物品和容量，逐步更新状态。下面我将逐步解释通用解法框架，包括状态定义、转移方程和优化实现。

1. 动态规划状态定义

设背包总容量为 $W$，物品总数为 $n$。每个物品 $i$ 有三个属性：

• 重量 $w_i$
• 价值 $v_i$
• 可选次数 $c_i$（$c_i = 1$ 表示01背包，$c_i = -1$ 表示完全背包，$c_i = k$ 表示多重背包）

定义一维DP数组：

• $dp[w]$：容量为 $w$ 时的最大价值，其中 $w$ 从 $0$ 到 $W$。 初始状态：$dp[0] = 0$，其他 $dp[w] = -\infty$（表示不可达）。

2. 状态转移方程

通用解法通过遍历每个物品，并根据其类型调整容量遍历顺序。状态转移核心公式为： $$ dp[w] = \max(dp[w], dp[w - w_i] + v_i) $$ 具体实现需根据物品类型定制遍历逻辑：

• 01背包：容量 $w$ 从大到小遍历（倒序），确保每个物品只选一次。
• 完全背包：容量 $w$ 从小到大遍历（正序），允许重复选择。
• 多重背包：将物品分解为多个“子物品”（使用二进制优化），然后按01背包处理。

通用转移过程：

1. 遍历每个物品 $i$。
2. 根据 $c_i$ 确定遍历方式：
   • 若 $c_i = 1$（01背包），则 $w$ 从 $W$ 到 $w_i$ 倒序更新。
   • 若 $c_i = -1$（完全背包），则 $w$ 从 $w_i$ 到 $W$ 正序更新。
   • 若 $c_i = k$（多重背包），则先将物品拆分为 $\log k$ 个二进制组（如 $k=5$ 拆为 $1,2,2$），然后按01背包处理每个组。

3. 通用解法框架

以下是Python代码实现，使用一维DP数组优化空间。函数参数：

• items：列表，每个元素为 (w_i, v_i, c_i)。
• W：背包总容量。

def knapsack(items, W):
    # 初始化DP数组
    dp = [-10**9] * (W + 1)
    dp[0] = 0
    
    # 遍历每个物品
    for w_i, v_i, c_i in items:
        if c_i == -1:  # 完全背包：正序遍历容量
            for w in range(w_i, W + 1):
                if dp[w - w_i] != -10**9:  # 确保状态可达
                    dp[w] = max(dp[w], dp[w - w_i] + v_i)
        elif c_i == 1:  # 01背包：倒序遍历容量
            for w in range(W, w_i - 1, -1):
                if dp[w - w_i] != -10**9:
                    dp[w] = max(dp[w], dp[w - w_i] + v_i)
        else:  # 多重背包：二进制优化
            k = c_i
            # 二进制拆分（如k=5拆为[1,2,2]）
            num = 1
            while k > 0:
                cnt = min(num, k)
                # 创建子物品，按01背包处理
                sub_w = w_i * cnt
                sub_v = v_i * cnt
                for w in range(W, sub_w - 1, -1):
                    if dp[w - sub_w] != -10**9:
                        dp[w] = max(dp[w], dp[w - sub_w] + sub_v)
                k -= cnt
                num *= 2
    
    # 返回最大价值
    return max(dp)

4. 代码说明

• 初始化：DP数组初始化为负无穷大（-10**9），表示无效状态；dp[0] = 0 表示空背包。
• 物品遍历：对每个物品，根据其类型 $c_i$ 选择遍历策略：
  • 完全背包（$c_i = -1$）使用正序遍历，允许重复选择。
  • 01背包（$c_i = 1$）使用倒序遍历，防止重复。
  • 多重背包（$c_i = k$）使用二进制优化：将物品拆分为 $O(\log k)$ 个组（例如 $k=5$ 拆为重量 $w_i \times 1$、$w_i \times 2$、$w_i \times 2$），然后按01背包处理，减少时间复杂度。
• 输出：返回 max(dp)，即所有容量下的最大价值。

5. 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nW)$ 平均情况。01背包和完全背包为 $O(nW)$；多重背包经二进制优化后为 $O(nW \log K)$，其中 $K$ 为最大物品数量限制。
• 空间复杂度：$O(W)$，仅使用一维数组。
• 适用性：此框架统一处理所有背包类型，实际应用时可调整物品表示（如 $c_i$ 定义）。

6. 示例测试

假设物品：[(2, 3, 1), (3, 4, -1), (1, 1, 2)]，容量 $W=5$：

• 第一个物品：01背包（重量2，价值3）。
• 第二个物品：完全背包（重量3，价值4）。
• 第三个物品：多重背包（重量1，价值1，最多选2次）。 调用 knapsack(items, 5) 返回最大价值（例如，可选完全背包物品一次和多重背包物品两次，价值 $4 + 1 \times 2 = 6$）。

此解法高效可靠，适用于大多数场景。通过统一DP框架，您可以灵活扩展其他背包变种（如分组背包）。