初窥PSO粒子群算法

碎碎念：终于搞完了毕设写好了论文，现在坐等答辩，可以有大把时间去做自己一直很想做的一些事情了。恰好这几天一个朋友找我帮他写程序，提出想寻找一个数值最优解，这激起了我的兴趣，查了查资料，决定用PSO粒子群算法来做这件事，下面总结下解决这个问题的思路。

PSO算法简介

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）属于现代优化算法，适用于求解没有目标函数解析式或者解析函数很复杂的优化问题，简单地说，就是我们没办法得到诸如$f(x)=x^2+1$ 这样可以求导的解析式，甚至根本就得不到一个具体的函数表达式，与此同时，我们还需要求出最小（大）值，在这个背景下，就出现了诸如模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等各种各样的优化算法。这些优化算法其实都是在模拟自然界的某些过程，并尝试着去解决问题。

粒子群算法最初是从研究鸟群捕食时得到的灵感，对于鸟群而言，如何在一大片区域中用有限的时间，最快地找到食物丰盛的领地，是一个决定鸟群生存繁衍的大问题。科学家们发现，单只鸟所能搜索的范围十分有限，但整个鸟群却像是被控制一般，很快聚集在食物最丰盛的地方。我们将每只鸟抽象成一个“粒子”（particle），每个粒子都有自己的位置和速度，并记忆自己曾经飞过的最好位置和群体曾经飞过的最好位置，那么在不断迭代的过程中，整体鸟群就很可能向最优目标出飞去。

概况起来说，一个群体中有$m$个粒子，在一个$D$维的空间中以一定速度飞行，每个粒子在飞行时，都能感知自己曾飞过的最好位置和整体群体的最好位置，并依据作为依据来变化。对于粒子群的第$i$个粒子而言，它的信息如下

• 当前速度：$v_i=(v_{i1},v_{i2},....v_{iD})$
• 当前位置：$x_i=(x_{i1},x_{i2},....x_{iD})$
• 粒子$i$经历的最好位置：$p_{i,best}=(p_{i1},p_{i2},....p_{iD})$
• 粒子群经历的最好位置：$p_{g,best}=(p_{g1},p_{g2},....p_{gD})$

PSO算法分为全局PSO和局部PSO，其中全局PSO指的是使用整个群体找到的最好解作为$p_{g,best}$，而局部PSO令部分成员成为邻域，并取邻域中的最好点作为$p_{g,best}$。在实际使用中，可以先用全局PSO找到大概位置，然后用局部PSO进行小范围内的搜索。

粒子每一个维度的位置其实就是这个问题中所包含的独立变量。在每一次的迭代过程中，粒子的位置$x_i$都会被用来计算适应度，也就是计算目标函数的值，并依据计算的结果来决定下一次迭代过程中粒子的位置和方向。令$l\le d\le D$，那么每一个粒子的第$d$维的位置和速度按照如下的式子变化

• $v_{id}=w\cdot v_{id}+c_1\cdot rand\cdot (p_{id}-x_{id})+c_2\cdot rand\cdot (p_{gd}-x_{id})$
• $x_{id}=x_{id}+v_{id}$

对上式进行解读，得到的几个结论如下：

• $w$代表的是惯性权重，代表了粒子上一次迭代时的速度对当前速度的影响，起到了平衡算法全局搜索能力和局部搜索能力的作用，一般令$w$的取值范围是[0.9, 1.2]。$w$越大，粒子飞得越快，对全局的搜索能力也越强，而$w$越小，那么粒子飞得越慢，对局部的搜索能力就越强。
• $c_1\cdot rand\cdot (p_{id}-x_{id})$ 代表粒子向自我历史最优点进行飞行，$c_2\cdot rand\cdot (p_{gd}-x_{id})$ 代表粒子向群体最优点进行飞行，其中rand是一个在(0,1)间取值的函数，一般用均分分布的函数即可。$c_1$和$c_2$分别代表自我历史最优和群体最优点的学习因子，也起到了平衡算法全局搜索能力和局部搜索能力的作用，$c_1$和$c_2$通常均为2，若取其他值，一般令$c_1=c_2$且范围在[0,4]之间。这里的学习因子越大，粒子越容易在局部收敛，这与权重$w$恰好是相反的。
• 为了防止粒子飞离搜索空间，我们需要对粒子的速度做一个限制，令$v_{id}$的范围在[$-v_{max}$, $v_{max}$]，且通常令$v_{max}=k\cdot x_{d,max}$，$0.1\le k\le 1$，每一维均如此设置。

算法的整个流程图如下：

实例分析

这次需要解决的是一个效率优化的问题，需要求出如何分配三个暖通机的输出功率，使得整栋楼的供暖系统的热量损失率最低，下面给出关键部分的伪代码和结果图供大家参考。

#! python3
# time代表总的迭代次数, N为群体数目
for i in time:
	for j in range(N):
		result = fit(x[j])			#fit函数计算第j个粒子的适应度
		if result < pbest[j]:		#依据条件更新第j个粒子的个体历史最优点
			p[j] = x[j]
			pbest[j] = x[j]
		if pbest[j] < gbest:		#依据条件更新群体最优点
			g = p[j]
			gbest = pbest[j]
		while True:
			# p[j]为第j个粒子的个体历史最好点，g为粒子群的最优点
			v_test = w * v[j] + c1 * random.random() * (p[j] - x[j]) + c2 * random.random() * (g - x[j])
			x_test = x[j] + v_test
			if （监测是否溢出边界）:
				v[j] = v_test			#若不溢出，则更新位置和速度
				x[j] = x[j] + v[j]
				break				#若不溢出，则跳出循环，更新下一个粒子的位置和速度
			else
				v[j] = random.uniform(0, 0.1)		#若溢出了，则重新分配此粒子的位置和速度
				x[j] = random.uniform(0, 1)

初始位置

初始速度

经过50次迭代后

最终位置

最终速度

收敛曲线

可以很明显地看到粒子收敛在一个小区间内。

总结

综上所述，这次上手PSO算法的几个想法如下：

• PSO算法模拟了自然界鸟群在一个大区域内进行觅食的情况，适用于没有解析解的优化问题。
• PSO算法对搜索空间进行了全局搜索，且与传统的遗传算法不同的是，PSO且将搜索过程中发现的好的解作为知识进行保存，且分享给所有粒子，这在一定程序上提高了搜索效率。
• PSO算法主要依靠调节粒子的速度来控制算法，且需要重点注意粒子的越界问题。

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附录

《粒子群算法的基本理论及其改进研究》