背包问题

01背包问题：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此：

f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

实例分析

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546

题目描述

Problem Description

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

 

Input

多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

 

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

 

Sample Input

1

50

5

10

1 2 3 2 1 1 2 3 2 1

50

0

 

Sample Output

-45

32

题目大意

如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。要求使卡上的余额尽可能的最少。

解题思路

很经典的一道01背包题，要注意的是这里只要剩余的钱不低于5元，就可以购买任何一件物品，所以5在这道题中是很特许的，再使用01背包之前，我们首先要在现在所拥有的余额中保留5元，用这五元去购买最贵的物品，而剩下的钱就是背包的总容量，可以随意使用。

AC代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int val[1010],cai[1010];
int n,m;
int main()
{
    int max,num,i,j;
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        memset(val,0,sizeof(val));
        memset(cai,0,sizeof(cai));
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&cai[i]);
        max=cai[0];
        num=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            if(max<cai[i])
            {
                max=cai[i];
                num=i;
            }
        scanf("%d",&m);
        if(m<5)
        {
            printf("%d\n",m);
            continue;
        }
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(i==num)
                continue;
            for(j=m-5;j>=cai[i];j--)
                if(val[j-cai[i]]+cai[i]>val[j])
                    val[j]=val[j-cai[i]]+cai[i];
        }
        printf("%d\n",m-val[m-5]-max);
    }
    return 0;
}