公约数

公约数

问n个数的所有子集的gcd和。\(1 \le n \le 1000000\)

首先想的是一个二维dp【可怜】

正解是对于一个公约数x，统计出gcd正好是它的子集个数f[x]。可以用容斥来搞。

具体来说，gcd正好是x的子集个数就是\(2^{x的倍数的个数}-f[kx]\)

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5, mod=1e9+7;
int f[maxn], a[maxn], c[maxn];
int fpow(int a, int x){
    LL base=a, ans=1;
    for (; x; x>>=1, (base*=base)%=mod)
        if (x&1) (ans*=base)%=mod;
    return ans;
}
int n, m, ans;
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%d", &a[i]);
        ++c[a[i]]; }
    int cnt=0;
    for (int i=m; i>0; --i){
        cnt=0;
        for (int j=i; j<=m; j+=i){
            cnt+=c[j];
            f[i]+=mod-f[j]; f[i]%=mod;
        }
        f[i]+=fpow(2, cnt)-1; f[i]%=mod;
        ans+=(1ll*f[i]*i)%mod; ans%=mod;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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