信号系统求解全响应_全响应系统-优快云博客

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信号系统回忆录(2025.1.13)

对信号系统求解全响应的思路进行总结

用此篇文章记录我开始备战858信号系统的学习过程 📚💪

一、信号系统的全响应

1.0 LTI系统的数学模型

线性时不变系统的微分方程一般形式为：

$a_n\frac{d^ny}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + ... + a_1\frac{dy}{dt} + a_0y = b_m\frac{d^mx}{dt^m} + b_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{dt^{m-1}} + ... + b_1\frac{dx}{dt} + b_0x$

其中：

x(t) 为输入信号
y(t) 为输出信号
$a_n, a_{n-1}, ..., a_0$ 为输出项系数（常数）
$b_m, b_{m-1}, ..., b_0$ 为输入项系数（常数）
n 为系统阶数（输出项最高阶导数）
m 为输入项最高阶导数（通常 m ≤ n）

特点：

系数均为常数（时不变特性）
方程是线性的（线性特性）
系统阶数由最高阶导数决定

1.1 全响应的数学本质

LTI系统的微分方程本质上是一个非齐次微分方程：

1.1.1 非齐次微分方程的基本概念

齐次方程：右端项为0
$a_n\frac{d^ny}{dt^n} + ... + a_1\frac{dy}{dt} + a_0y = 0$
非齐次方程：右端项不为0
$a_n\frac{d^ny}{dt^n} + ... + a_1\frac{dy}{dt} + a_0y = f(t)$
解的组成：
- 完全解 = 齐次通解 + 非齐次特解
- y(t) = yc(t) + yp(t)

1.1.2 齐次解（包含零输入响应）

数学本质：齐次微分方程的通解
求解过程：
1. 写出齐次方程：
  $a_n\frac{d^ny}{dt^n} + ... + a_1\frac{dy}{dt} + a_0y = 0$
2. 写出特征方程：
  $a_ns^n + ... + a_1s + a_0 = 0$
3. 根据特征根类型写出通解：
  - 实数不相等根： $y(t) = c_1e^{s_1t} + c_2e^{s_2t}$
    - 物理意义：系统有两个不同的衰减（或增长）速率
  - 实数相等根： $y(t) = (c_1 + c_2t)e^{s_1t}$
    - 物理意义：系统只有一个衰减速率，但有t项调制
  - 共轭复根： $e^{\alpha t}(c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t))$
    - 物理意义：系统产生振荡，α决定衰减速率，ω决定振荡频率
4. 代入初始条件（t=0-时刻）求解系数

1.1.3 特解（包含受迫响应）

数学本质：非齐次微分方程的一个特解
求解方法：
1. 根据输入信号f(t)类型选择合适的解形式：
  - 常数输入：选择常数形式
  - 指数输入e^{(at)：选择Ae}(at)形式
    - 当a不等于特征根时：这部分是受迫响应
    - 当a等于特征根时：需要乘以t，这部分是自然响应
  - 正弦输入：选择Acos(ωt)+Bsin(ωt)形式
  - 多项式输入：选择同阶多项式形式
2. 对于复杂输入信号：
  - 将信号分解为基本信号
  - 求出系统对各基本信号的响应
  - 利用线性叠加得到总响应

1.1.4 全响应的完整表达

$y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$
其中：

y_{zi}(t)：零输入响应（齐次通解）
y_{zs}(t)：零状态响应（非齐次特解）

1.2 全响应的组成方式

全响应可以通过以下三种方式来分解：

零状态响应和零输入响应
自然响应和受迫响应
稳态响应和暂态响应

1.3 各种响应的区别

零状态响应和零输入响应

零状态响应：当系统的各个初始状态为0时的响应
零输入响应：当系统的输入为零或者没有激励时系统的响应

自然响应和受迫响应

自然响应：由系统特征根决定的响应(由系统本身的性质决定)
受迫响应：由输入信号决定的响应(由输入信号决定)

1.4 各种响应之间的关系

1.4.1 六种响应的定义

齐次解：齐次微分方程的通解，包含任意常数
特解：非齐次微分方程的一个特解，不含任意常数
零输入响应：系统在有初始条件无输入时的响应
零状态响应：系统在无初始条件有输入时的响应
自然响应：与系统特征根相关的响应
受迫响应：仅由输入信号直接产生的响应

1.4.2 响应之间的关系

从数学角度：
- 完全解 = 齐次解 + 特解
- 零输入响应 = 齐次解（代入初始条件）
- 零状态响应 = 齐次解（由输入决定）+ 特解
从响应来源角度：
- 自然响应 = 所有与特征根相关的项
  - 包含全部零输入响应
  - 包含零状态响应中与特征根相关的部分
- 受迫响应 = 所有与特征根无关的项
  - 仅存在于零状态响应中
  - 仅存在于特解中

1.4.3 关键理解要点

零输入响应一定是自然响应
零状态响应可能同时包含自然响应和受迫响应
特解不一定就是受迫响应
齐次解一定是自然响应

1.4.5 响应关系图示

全响应
├── 零输入响应 ────┐
│ ├──> 自然响应
└── 零状态响应 ────┤
└──> 受迫响应

数学角度：
完全解
├── 齐次解 -----> 对应零输入响应
└── 特解 -------> 对应零状态响应的一部分

二、信号系统全响应求解方法

2.1 零输入响应求解

2.1.1 理论依据

定义基础：
- 零输入响应是系统在有初始条件、无输入时的响应
- 数学上等价于求解齐次微分方程
求解原理：
- 当输入x(t)=0时，LTI系统的微分方程变为：
  $a_n\frac{d^ny}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + ... + a_1\frac{dy}{dt} + a_0y = 0$
- 假设解的形式为y(t) = e^(st)，代入方程得到：
  $a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0)e^{st} = 0$
- 因为e^(st)≠0，所以：
  $a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0 = 0$
  这就是特征方程
解的构成原理：
- 由常系数线性微分方程的理论
- n阶方程有n个线性独立解
- 通解是这n个线性独立解的线性组合

2.1.2 求解步骤及依据

写出特征方程：
- 依据：将 $e^{st}$ 代入齐次方程得到
求解特征根：
- 依据：特征根决定系统的自然响应形式
写出通解形式：
- 依据：不同类型特征根对应不同的独立解
- 实根： $e^{st}$
- 重根： $te^{st}$ , $t^2e^{st}$ …
- 复根： $e^{\alpha t}(\cos(\omega t), \sin(\omega t))$
代入初始条件：
- 依据： $t=0^-$ 时刻的状态量
- 对于n阶系统需要n个初始条件
- 通常是 $y(0^-)$ , $y'(0^-)$ , $y''(0^-)$ …

2.2 零状态响应求解

核心思想：
- 利用LTI系统的线性时不变特性
- 将复杂输入信号分解为基本信号的组合
- 求出系统对基本信号的响应后进行叠加
求解三要素：
- 信号分解：将输入信号分解为基本信号
  - 冲激信号分解（时域）
  - 阶跃信号分解（时域）
  - 正弦信号分解（频域）
- 基本响应：求系统对基本信号的响应
  - 冲激响应h(t)
  - 阶跃响应s(t)
  - 频率响应H(jω)
- 响应叠加：利用线性叠加原理
  - 时域叠加：卷积积分
  - 频域叠加：频谱相乘
常用求解方法：
- 时域方法：
  - 卷积积分： $\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)x(t-\tau)d\tau$
  - 直接微分方程求解
- 变换域方法：
  - 拉普拉斯变换：Y(s) = H(s)X(s)
  - 傅里叶变换：Y(jω) = H(jω)X(jω)