HDU 4390 Number Sequence （容斥原理+组合计数）

最新推荐文章于 2019-03-18 20:48:45 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zhchoutai/p/8453105.html

本文深入解析HDU4390题目，探讨如何计算满足特定条件的数列组合数。通过质因子分解和组合数学，利用容斥原理解决数论难题。

HDU 4390

题意：

大概就是这样。不翻译了：
Given a number sequence b1,b2…bn.
Please count how many number sequences a1,a2,...,ansatisfy the condition thata1∗a2∗...∗an=b1∗b2∗…∗bn(ai,bi>1).

思路：

我们能够确定一件事：等号两边由同样数量的质因子组成。

假设ai能够等于1，答案就是把这些质因子分配进n个位置的方案数。
设左边的数字共由x个质因子组成，当中第i个质因子出现mi次。
把m个同样小球放进n个不同盒子（盒子能够为空）中的方案数是 Cn−1m+n−1。
那么把mi个同样质因子放进n个不同位置上的方案数是 Cn−1mi+n−1。最后答案就是∏xi=1Cn−1mi+n−1.

但这并非我们想要的答案。由于我们不同意某个位置为空（即存在ai=1），所以我们要减去一些某些位置为空的方案。
由于至少有一个位置为空与至少有两个位置为空存在反复情况等。减的方法是容斥原理。
ans=∏xi=1Cn−1mi+n−1−C1n∏xi=1Cn−2mi+n−2+C2n∏xi=1Cn−3mi+n−3−...Cn−1n∏xi=1C0mi.
（答案 = 全部可能 - 一个为空 + 两个为空 - 三个为空 +…）

代码：

/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

const int maxn = 1005 ;
const int mod = 1e9 + 7 ;
lint C[505][505];
lint b[25] ;
map<int , int>m ;

int n ;
void init(){
    cls( C ) ;
    C[0][0] = 1 ;
    for( int i = 1 ; i <= 500 ; i++ ){
        C[i][0] = 1 ;
        for( int j = 1 ; j <= i ; j++ ){
            C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1] ;
            if( C[i][j] > mod ) C[i][j] -= mod ;
        }
    }
}

lint work(){
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        for( int j = 2 ; j * j <= b[i] ; j++ ){
            while( b[i] % j == 0 ) {
                m[j] ++ ;
                b[i] /= j ;
            }
        }
        if( b[i] > 1 ) m[b[i]] ++ ;
    }
    map<int,int>::iterator it ;

    lint ans = 1 ;
    for( it = m.begin() ; it != m.end() ; it++ ){
        int num = it->second ;
        ans = ( ans * C[ num + n - 1 ][ n - 1 ] ) % mod ;
    }
    for( int i = 1 ; i < n ; i++ ){
        lint val = C[n][i] ;
        for( it = m.begin() ; it != m.end() ; it++ ){
            int num = it->second ;
            val = ( val * C[ num + n - i - 1 ][ n - i - 1 ] ) % mod ;
        }
        if( i & 1 )
            ans = ( ans - val + mod ) % mod ;
        else
            ans = ( ans + val ) % mod ;
    }
    return ans ;

}
int main(){
//  freopen("input.txt","r",stdin);
    init() ;
    while( cin >> n ){
        m.clear();
        for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            cin >> b[i] ;
       cout << work() << endl;
    }
    return 0;
}

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