POJ1061 青蛙的约会

　　　　　　　　　　　　　　 青 蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

先秀一张图片

 

言归正传　　这题是我的博客数论之扩展欧几里德中提到的例题。

　　设青蛙跳的次数为 s 步，则青蛙 A，B 相遇必须满足

　　　　　　　　 ( x+m*s ) - ( y+n*s ) =k*L

　　k表示它们在第几圈相遇。

 

方程变形

　　将括号展开，得到：

　　　　　　　   x-y + m*s-n*s = k*L;

　　移项，合并同类项，得到：

　　　　　　　　x-y=k*L+s*(n-m)

　　设 a=n-m，b=L，c=x-y，得到：

　　　　　　　　a*s+b*k=c

　　这不就是标准的扩展欧几里德吗！！！

　于是，该题变身成求不定方程 a*s+b*k=c 中 s 的最小非负整数解

　　代码   丑代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 using namespace std;
 4 long long x,y,m,n,l,a,b,c,d,p,q;
 5 
 6 long long gcd(long long x,long long y)
 7 {
 8     return (!y)?x:gcd(y,x%y);
 9 }
10 
11 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
12 {
13     if(b==0)
14     {
15         x=1;y=0;return ;
16     }
17     exgcd(b,a%b,x,y);
18     long long t=x;
19     x=y;y=t-a/b*y;
20     return ;
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     while(~scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&m,&n,&l))
26     {
27         a=n-m;b=l;c=x-y;d=gcd(a,b);
28         if(c%d!=0)
29         {
30             puts("Impossible");continue;
31         }
32         a/=d;b/=d;c/=d;
33         exgcd(a,b,p,q);
34         p*=c;
35         long long t=p%abs(b);
36         while(t<0)t+=abs(b);
37         printf("%lld",t);
38     }
39     return 0;
40 }

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