高斯分布概率密度函数积分推导

本文详细推导了高斯分布概率密度函数的积分,证明其积分值为1,并讨论了标准高斯分布的性质。进一步,通过积分计算得出高斯分布的均值为μ,方差为σ²。

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高斯分布:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$

标准高斯分布:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})$

 

一个高斯分布只需线性变换即可化为标准高斯分布,所以只需推导标准高斯分布概率密度的积分。由:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy$

得:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }

在信号处理和通信系统中,矢量复高斯分布(Vector Complex Gaussian Distribution)是描述多维复随机信号的重要统计模型。其概率密度函数(Probability Density Function, PDF)通常用于建模具有多天线或空时结构的无线信道。 ### 概念背景 复高斯分布是实高斯分布的扩展形式,适用于复数域。对于一个 $N$ 维复高斯随机向量 $\mathbf{z} \in \mathbb{C}^N$,其均值为 $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{C}^N$,协方差矩阵为 $\mathbf{\Sigma} \in \mathbb{C}^{N \times N}$,该分布记作 $\mathbf{z} \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})$。复高斯分布概率密度函数可以表示为: $$ f_{\mathbf{z}}(\mathbf{z}) = \frac{1}{\pi^N \det(\mathbf{\Sigma})} \exp\left( -(\mathbf{z} - \boldsymbol{\mu})^\dagger \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{z} - \boldsymbol{\mu}) \right) $$ 其中: - $\mathbf{z}^\dagger$ 表示共轭转置; - $\det(\mathbf{\Sigma})$ 是协方差矩阵的行列式; - $\mathbf{\Sigma}^{-1}$ 是协方差矩阵的逆。 ### 推导过程 推导矢量复高斯分布概率密度函数基于将复随机变量分解为实部与虚部,并应用多元正态分布的性质。具体地,设 $\mathbf{z} = \mathbf{x} + i\mathbf{y}$,其中 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^N$ 分别为实部与虚部。若 $\mathbf{z}$ 服从复高斯分布,则 $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ 构成的 $2N$ 维联合向量服从实多元高斯分布,且满足特定对称性条件。 复高斯分布的协方差矩阵定义为: $$ \mathbf{\Sigma} = \mathbb{E}\left[ (\mathbf{z} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{z} - \boldsymbol{\mu})^\dagger \right] $$ 根据实高斯分布的公式并考虑复数变换的雅可比行列式,最终得到上述复高斯分布概率密度函数[^3]。 ### 应用场景 矢量复高斯分布在通信系统、雷达信号处理以及机器学习中广泛应用。例如,在 MIMO(Multiple Input Multiple Output)系统中,信道增益通常被建模为复高斯随机变量,以描述衰落效应。 ### 示例代码 以下是一个生成二维复高斯分布样本并计算其概率密度的 Python 示例: ```python import numpy as np from scipy.stats import multivariate_normal def complex_gaussian_pdf(z, mu, Sigma): # z: 复向量 (N,) # mu: 均值向量 (N,) # Sigma: 协方差矩阵 (N,N) N = len(z) det_Sigma = np.linalg.det(Sigma) inv_Sigma = np.linalg.inv(Sigma) diff = z - mu exponent = -np.dot(np.conj(diff).T, np.dot(inv_Sigma, diff)) return 1 / (np.pi**N * det_Sigma) * np.exp(exponent.real) # 示例参数 mu = np.array([0.0 + 0.0j, 0.0 + 0.0j]) Sigma = np.array([[1.0 + 0.0j, 0.5 + 0.0j], [0.5 + 0.0j, 1.0 + 0.0j]]) # 生成复高斯样本 real_part = np.random.normal(0, 1, (2,)) imag_part = np.random.normal(0, 1, (2,)) z = real_part + 1j * imag_part # 计算PDF值 pdf_value = complex_gaussian_pdf(z, mu, Sigma) print("PDF value at", z, "is", pdf_value) ```
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