解非线性方程python实现牛顿迭代法-优快云博客

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1.基本概念

牛顿迭代法是一种求函数零点的方法，它是利用函数f(x)的泰勒展式的前几项来寻找方程f(x)=0的根的近似值。牛顿迭代法的基本思想是：对于方程f(x)=0，给定一个初值x0，用其在该点处的切线与x轴交点为新的近似值，然后以新的近似值继续进行迭代，直到满足精度要求为止。

具体来说，对于函数f(x)，可以将其在点xn处展开为二阶泰勒多项式：

$f(x)=f\left(x_n\right)+\left(x-x_n\right) \dot{f}\left(x_n\right)+\frac{\left(x-x_n\right)^2}{2} \ddot{f}^{}(\xi)$

其中ξ是x和xn之间的某个点，f'和f′′分别表示f(x)的一阶和二阶导数。令f(x)=0，则有：

$x=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}$

这个公式称为牛顿迭代法的迭代公式。不断使用这个公式，即可得到逐步逼近方程f(x)=0根的近似值。

需要注意的是，牛顿迭代法对于初值的选取比较敏感，有时可能会导致不收敛或者收敛到错误的根上。此外，当函数f(x)的导数为0时，迭代公式中的分母会为0，也会导致收敛失败。

2.代码实现

下面是一个简单的Python实现，求解多项式

$f(x)=x^3+2 x^2+10 x-20$

初始解为x=2，f'(x)=3x^2+4x+10

"""
@Time ： 2023/10/14 0012 13:21
@Auth ： yeqc
"""


def f(x):
  return x**3+2*x**2+10*x-20

def df(x):
  return 3*x**2+4*x+10

x = 2
eps = 1e-6
while abs(f(x)) > eps:
  x = x - f(x)/df(x)
print(x)