【力扣】62.不同路径

最新推荐文章于 2024-09-07 18:07:55 发布

YTea

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分类专栏：动态规划专题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ansizhong9191/article/details/88532741

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本文探讨了一个经典算法问题：计算机器人从网格左上角到右下角的不同路径数量。通过动态规划方法，详细解析了如何利用状态转移方程解决这一问题，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述(中等)

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

题目链接

https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

算法分析

设dp[i][j]表示到达点(i, j)时有多少条路径，那么状态转移矩阵可以写为：

$dp[i][j]=\begin{cases} 1 & \text{ if } i=0||j=0\\ dp[i-1][j]+dp[i][j-1] & \text{ if } i!=0\&\&j!=0 \end{cases}$

提交代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        const int M = m;
        const int N = n;
        
        int dp[M][N];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        
        for (int i = 0; i < m; ++i) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) dp[0][i] = 1;
        
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        
        return dp[m-1][n-1];
    }
};