力扣62.不同路径（全部解法详解）

最新推荐文章于 2025-03-23 08:00:00 发布

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分类专栏：力扣刷题动态规划

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本文详细介绍了力扣62题——不同路径的问题，从题目描述到解题思路，再到代码实现，包括一维优化和数论解法。机器人从网格左上角到达右下角，每步只能向下或向右移动，求解不同路径的数量。通过递推公式和初始化边界条件，可以得到解决方案，并进一步转化为组合问题进行优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

解法

起点：（0，0）；终点（m - 1，n- 1）；值：从起点到目标点有多少路径
递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];只有两个方向
初始化：将上和左两个边初始化
for(int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
遍历顺序：根据递推公式，都是从左和上而来，那么就从左到右一层一层遍历
举例推导：

1	1	1
1	2	3
1	3	4
1	4	5

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

优化成一维代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

数论解法

我们知道，终点在右下角，那么一定会向下移动m - 1个格子，一定会向右移动n - 1个格子

那么这就变成了组合问题

$C^{m-1}_{m+n-2}$

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};