背包（0-1）问题（动态规划）

背包容量是C，可容纳N件商品，每件商品要么放要么不放，商品的重量数组W[ ]，价值数组V[ ]。

通过动态规划算法，建立矩阵M[N][C]。

M[i][j]的含义为，往背包里放从1~i的物品的最大价值，j为背包容量。

M[i][j]的有两种选择：一是，不放当前物品i，M[i-1][j];二是，放当前物品i，则值为

V[i]+M[i-1][j-W[i]]。也就是当前物品的价值加上，背包容量为j-W[i]，放1~i-1物品的最大价值。

矩阵里的每个值都是子问题的最优解，也就是背包在容量为j，容纳物品为1-i的最大价值。

 

还有一个问题，如何判定装入了哪个物品，由矩阵生成过程，可以知道，当M[i][j] != M[i-1][j]时，放入了物品i。以此类推，可以得到所有放入背包中的物品。

关于动态规划的小贴士（摘自《算法图解》）

1、每种动态规划方案都涉及到网格；

2、单元格的值通常是你要优化的值，如背包问题中，单元格的值为商品的价值。

3、每个单元格都是一个子问题。