堆排序，向上调整，向下调整，前K个问题_堆弹出顶后怎么调整-优快云博客

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本文详细介绍了堆排序算法，包括堆的概念、存储方式、调整方法及其实现。并探讨了如何利用堆解决前K个问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

堆排序，向上调整，向下调整，前K个问题

堆排序

1. 什么是堆？

堆就是一棵完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆

大顶堆：每一个父节点都比其子节点大，故根节点为最大

           7
         /   \
        6     5
      /  \   /  \
     4    3 2    1

小顶堆：每一个父节点都比其子节点小，故根节点为最小

           1
         /   \
        2     3
      /  \   /  \
     4    5 6    7

注意，这里说的是只是与当前节点得父节点比较，因此比如以下这个，也是小顶堆

            1
         /     \
      100       3
      /  \     /  \
    101  1005 6    700

2. 堆的存储

2.1 根节点存储堆

由于堆其实就是一棵完全二叉树，因此我们可以用树的存储的方式，节点类：

class HeapNode(object):
    def __init__(self):
        self.val = 0
        self.left_child = None
        self.right_child = None

使用根节点存储堆，需要记录最后一个节点，合适进行不断拓展和不断调整的堆

2.2 使用数组法存储堆

使用数组存储堆，这是我们一般使用的方法，这种方法一般是在堆排序中进行使用，其好处是方便定位到相关的节点位置，对于上述小顶堆，存储格式为：

min_heap = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

其中：

第0个结点左右子结点下标分别为1和2
第i节点父结点下标：(i–1)/2
第i节点左孩子下标：2∗i+1
第i节点右孩子下标：2∗i+2

本文主要是使用数组存储堆的方式

3. 堆的调整

对于堆的调整，涉及到三个问题：

调整堆，插入堆之后，对插入的节点使用调整算法进行调整。堆的调整算法，分为两个：

自顶向下：主要用于堆删除节点，删除结点之后把最后一个节点替换到，当前根节点位置，对此节点进行自顶向下操作
自底向上：主要用于节点的插入，当一个节点插入到这个堆之后，向上调整堆，堆还能符合大顶堆或者小顶堆的定义。

插入堆，把需要插入的节点放在堆的最后一个节点之后的位置，对当前插入的这个节点进行自底向上的调整
删除堆的节点，删除堆节点的操作，只能够删除根节点，把根节点和最后一个节点交换位置之后，然后弹出最后一个节点，并且对当前堆进行自顶向下的操作

3.1 堆的调整方法（以小顶堆为例）

（1）自顶向下

自顶向下调整堆流程：

从第一个节点，即i=0节点开始，记节点为parent，记当前下标为index。
找到其左右children中的最小值，记为min。
比较 parent 和 min 的值，如果 min < parent ，则交换min和data[index]，并且把index移动到min的下标，继续向下比较。
当出现data[index] 没有比 parent 小的子节点，或者没有子节点（即计算出的子节点下标比data_len大），此时需要交换最后一次，即把parent位置的数据，与当前index指向的数据交换，结束循环
处理完当前节点之后，从parent的下一个节点出发，重复上述流程，一直遍历完每一个节点。

def min_adjust_heap_top2down(data, index):
   """
   调整堆，自顶向下，用于堆化数组
   :param data: List[int]
   :param index: 调整第几个节点，一般是从第0个节点开始
   :return:
   """
   if not data:
       return
   data_len = len(data)
   node = data[index]
   left_child = 2 * index + 1
   right_child = 2 * index + 2
   while left_child < data_len:

       # 找左右节点中小的那个进行比较
       if right_child < data_len and data[left_child] > data[right_child]:
           min_child = right_child
       else:
           min_child = left_child

       # 如果没有比当前节点更小的子节点，则返回
       if data[min_child] > node:
           break

       # 交换父子节点
       data[index], data[min_child] = data[min_child], data[index]
       # index指向当前min，继续对子节点进行比较
       index = min_child
       left_child = 2 * index + 1
       right_child = 2 * index + 2

   # 与比较到最后一个节点进行交换
   data[index] = node

（2）自底向上

自底向上调整堆，则相对的要比较简单一些，一般用于堆的插入，只要不断的和父节点比较即可，步骤如下：

从最后一个节点开始，记为children
计算此节点的父节点（父节点下标：(i-1)/2），下标记为 index，如果 children < data[index]，则把此处的节点与children交换，然后使 index指向它的父节点，继续向上比较
当得到 parent < data[index]，或者没有父节点了（即计算出来的父节点的值<0），此时需要交换最后一次，即把parent位置的数据，与当前index指向的数据交换，结束循环
处理完当前节点之后，从children的上一个节点继续出发，重复上述流程
如果是插入节点，则完成流程

def min_adjust_heap_bottom2up(data, index):
    """
    调整堆，自底向上调整，用于插入堆
    :param data: List[int]
    :param index: 调整第几个节点，一般是最后一个节点
    :return:
    """
    if not data:
        return
    node = data[index]
    parent = (index - 1) // 2
    while parent >= 0:
        # 如果父节点比当前节点小，则直接返回了
        if data[parent] < node:
            break

        # 交换父子节点
        data[index], data[parent] = data[parent], data[index]

        # 继续向上与父节点比较
        index = parent
        parent = (index - 1) // 2

    # 与比较到最后一个节点进行交换
    data[index] = node

4. 堆的构建和删除节点

以小顶堆为例，使用上述的堆的调整方法构建堆

4.1 插入节点进堆

假设有如下的堆

[0, 1, 2, 7, 4, 3, 5, 8, 9, 6]

需要把下面三个节点插入到堆中

insert_data = [8, 9, 0]

只要遍历这三个数，然后不断的进行自底向上调整堆即可，步骤如下：

先把数据插入到最后一个叶子节点上
进行自底向上的调整
调整到父节点比当前节点小，或者调到根节点，完成插入

for i in (8, 9, 0):
	insert_heap(data, i)

def insert_heap(heap_data, node):
    """
    插入数据
    1. 先把数据插入到最后一个叶子节点上
    2. 进行自底向上的调整
    3. 调整到父节点比当前节点小，或者调到根节点，完成插入
    :param heap_data:
    :param node:
    :return:
    """
    if not heap_data:
        return [node, ]
    data_len = len(heap_data)
    if data_len == 1:
        return [heap_data[0], node] if heap_data[0] < node else [node, heap_data[0]]

    heap_data.append(node)
    last_index = data_len  # (data_len - 1) + 1，这个+1是因为append了node
    min_adjust_heap_bottom2up(heap_data, last_index)
    return heap_data

输出结果：

[0, 1, 2, 7, 4, 3, 5, 8, 9, 6]

4.2 构建堆

当我有如下数据，需要构建成为一个小顶堆

data = [7, 6, 5, 1, 4, 3, 2]

遍历每一个数据，进行对一个空堆进行插入操作，即可完成堆的构建

def make_heap(data):
    """
    构建堆
    1. 一般都用数组来表示堆
    2. i结点的父结点下标就为(i–1)/2
    3. 它的左右子结点下标分别为
        （1）左孩子2∗i+1
        （2）右孩子2∗i+2
        （3）如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
    :param data:
    :return:
    """
    if not data:
        return []
    data_len = len(data)
    if data_len == 1:
        return data
    elif data_len == 2:
        return data if data[0] < data[1] else [data[1], data[0]]
	
	# 超过3长的数据再需要插入
    heap_data = []
    for i in range(data_len):
        heap_data = insert_heap(heap_data, data[i])
    return heap_data

输出结果：

[1, 4, 2, 7, 5, 6, 3]

4.3 删除堆的节点

我们继续对上面的计算结果进行操作，需要删除堆的节点，只能够删除根节点，步骤如下：

删除对顶元素的时候，就会变成两个二叉树
把最后一个节点last移动到root节点(一定要用最后一个元素填补root，原因是删除root之后的剩余部分还是保持的堆的特性的，用最后一个值进行调整可以只调整一次)
对last节点进行自顶向下的调整，完成堆的调整

def pop_heap(heap_data):
    """
    我们只能够删除堆顶部的元素，也就是根节点的元素
    1. 删除对顶元素的时候，就会变成两个二叉树
    2. 把最后一个节点last移动到root节点(一定要用最后一个元素填补root，原因是删除root之后的剩余部分还是保持的堆的特性的，用最后一个值进行调整可以只调整一次)
    3. 对last节点进行自顶向下的调整，完成堆的调整
    :param heap_data:
    :return: top, new_heap
    """
    if not heap_data:
        return None, heap_data
    data_len = len(heap_data)
    if data_len == 1:
        return heap_data[0], []
    elif data_len == 2:
        return heap_data[0], [heap_data[1]]
    elif data_len == 3:
        ret_heap = [heap_data[1], heap_data[2]] if heap_data[1] < heap_data[2] else [heap_data[2], heap_data[1]]
        return heap_data[0], ret_heap

    top = heap_data[0]
    heap_data[0] = heap_data[data_len-1]
    heap_data = heap_data[:-1]
    min_adjust_heap_top2down(heap_data, 0)
    return top, heap_data

进行删除节点操作：

print("heap data: ", data)
ret, data = pop_heap(data)
print("pop node, top: ", ret, " heap data: ", data)
ret, data = pop_heap(data)
print("pop node, top: ", ret, " heap data: ", data)

输出结果：

heap data: [0, 1, 2, 7, 4, 3, 5, 8, 9, 6]
pop node, top:  0  heap data:  [1, 4, 2, 7, 6, 3, 5, 8, 9]
pop node, top:  1  heap data:  [2, 4, 3, 7, 6, 9, 5, 8]

5. 堆排序

堆排序需要分为两个步骤：

用当前需要排序的数据构建一个堆
就是不断的弹出当前堆的堆顶元素，因为小顶堆的堆顶一定是最小的，即可以用于排序。
堆排序的本质就是，把数据构建成堆之后，弹出堆顶元素，然后互换堆顶和最后一个数据，不断对当前堆进行自顶向下的堆的调整，然后继续弹出
有示例数据：

def heap_sort(data):
    """
    堆排序，堆排序其实就是不断弹出堆顶元素完成的排序
    :param data: 
    :return: 
    """
    if not data:
        return []
    ret_data = []
    top, data = pop_heap(data)
    ret_data.append(top)
    while top and data:
        top, data = pop_heap(data)
        ret_data.append(top)
    return ret_data

输入数据：

[7, 6, 5, 1, 4, 3, 2]

执行结果：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

6. 前k个问题

问题：当前有10w个数据，求出其中前100大的数据，或者求其中第100大的数据

这个地方因为需要求取前k个最大或者最小的值，那么按照堆的性质，如果需要求找前k个最大的数据，则我们需要构建一个小顶堆，堆顶元素就是这第k个数的最小值.，只要这个数据比堆顶元素大，堆顶元素就应该弹出，对当前数据进行自顶向下操作，得到的新的堆顶元素就是这第k个数的新最小值。

构建一个长度为k的堆，然后使用data里面的数据遍历的与这个堆的堆顶元素进行比较，如果大于堆顶元素，则弹出堆顶，当前值换到堆顶元素上，并且进行自顶向下的堆调整，即进行一次堆的插入操作

我们首先生成10w条数据：

def create_test_data():
    number = 100000
    return [random.randint(1, number) for i in range(number)]

然后求解前k个数据的问题：

def no_k_question(data, k):
    """
    前k个问题
    问题描述：当前有100000个数据，求出其中前100大的数据，或者求其中第100大的数据
    1. 如果求前k大，则构造小顶堆
    2. 如果求前k小，则构建大顶堆
    3. 比较堆顶元素，因为堆顶元素就是第k个元素

    本题求解的是第K个大的问题
    :param data: 数据集合
    :param k: k的长度
    :return:
    """
    if not data:
        data = create_test_data()

    # 构建一个长度为k的堆
    heap_data = make_heap(data[:k])

    # 对剩余数据，与堆顶元素比较
    for i in range(k, len(data)):
        num = data[i]
        if num < heap_data[0]:  # 不能等于，因为前k个可能有重复的
            continue
        heap_data[0] = num
        min_adjust_heap_top2down(heap_data, 0)
    return heap_data

当然，为了节省时间，这个地方就用100条数据前10个当作测试了，输出结果：

big data:  [40, 93, 57, 25, 85, 12, 95, 33, 88, 86, 75, 58, 28, 58, 20, 23, 33, 52, 87, 77, 30, 84, 18, 26, 27, 45, 39, 32, 6, 73, 28, 68, 94, 14, 48, 8, 88, 57, 88, 43, 83, 67, 26, 54, 70, 71, 46, 91, 47, 58, 90, 95, 2, 85, 65, 84, 85, 48, 34, 18, 39, 31, 77, 21, 31, 77, 45, 55, 8, 6, 77, 99, 95, 85, 31, 80, 62, 85, 96, 24, 16, 65, 35, 97, 46, 26, 52, 32, 43, 23, 96, 77, 24, 82, 72, 23, 21, 86, 4, 95]
big data sort:  [99, 97, 96, 96, 95, 95, 95, 95, 94, 93, 91, 90, 88, 88, 88, 87, 86, 86, 85, 85, 85, 85, 85, 84, 84, 83, 82, 80, 77, 77, 77, 77, 77, 75, 73, 72, 71, 70, 68, 67, 65, 65, 62, 58, 58, 58, 57, 57, 55, 54, 52, 52, 48, 48, 47, 46, 46, 45, 45, 43, 43, 40, 39, 39, 35, 34, 33, 33, 32, 32, 31, 31, 31, 30, 28, 28, 27, 26, 26, 26, 25, 24, 24, 23, 23, 23, 21, 21, 20, 18, 18, 16, 14, 12, 8, 8, 6, 6, 4, 2]
res data sort:  [99, 97, 96, 96, 95, 95, 95, 95, 94, 93]