数据结构之树

一、树的基本定义：树(tree)是N(N>=0)个结点的有限集合。在任意的一棵树中<1>有且只有一个特定的根(root)节点 ;<2>当n》1时其余节点可分为m个互不相交的有限集，每个集合的本身就是一棵树。

二、二叉树的定义：它的特点是每个节点最多只有两棵子树（二叉树中不存在度大于2的节点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

三、树的一些名词的含义：<1>度：表示节点拥有的子树数;<2>叶子（终端节点）:表示度为0的节点;<3>深度：树节点的最大层次称为树的深度或高度。

四、二叉树的一些性质：

1、在二叉树中的第i层上最多有 个节点 (i>=1);

2、深度为K的二叉树最多有   个节点(k>=1);

3、对于任何一棵二叉树T，如果终端节点数为a,度为2的节点数为b,则a=b+1;

4、具有n个节点的完全二叉树的深度为

5、完全二叉树、满二叉树、对树的节点从左到右遍历不会出现间断则为完全二叉树;

五、遍历二叉树：

1、先序遍历二叉树：访问根节点，先序遍历左子树，先序遍历右子树

2、中序遍历二叉树：先序遍历左子树，访问根节点，先序遍历右子树

3、后序遍历二叉树：先序遍历左子树，先序遍历右子树，访问根节点

构造一个二叉树如下：

先序遍历二叉树：-+a*b-cd/ef        中序遍历二叉树：a+b*c-d-e/f          后序遍历二叉树:abcd-*+ef/-

六、查找二叉树：使二叉树成为一棵二叉树的性质是，对于树中的每个节点x，它的左子树中所的项的值小于x中的项，而它的右子树所有的项值大于x中的值。

      查找二叉树                                非查找二叉树

七、使用java对查找二叉树进行操作：定义、先序遍历、中序遍历、后序遍历、得到一棵树的深度、插入一个节点、删除一个节点

先序遍历、1、java对查找二叉树节点进行定义：

public class TreeNode {
	TreeNode left;//左子树
	TreeNode right;//右子树
	int val;//结点值
	
	//定义两个构造函数
	public TreeNode(int x) {
	  this(null, null, x);
	}
	public TreeNode(TreeNode right,TreeNode left,int value){
		this.left=left;
		this.right=right;
		this.val=value;
	}
}

2、对二叉树进行遍历：

先序遍历：

       //打印一课树(先序)使用递归的方法
	public void PreOrderprintTree(TreeNode root){
		//先序遍历（root（结点）-->左子树-->右子树）
		if(root==null){
			return ;
		}
	   System.out.print(root.val+" ");//根结点
	   PreOrderprintTree(root.left);//左子树
	   PreOrderprintTree(root.right);//右子树
	}

中序遍历：

	//打印一课树(中序)使用递归的方法
	public void inOrderprintTree(TreeNode root){
		//中序（左子树-->root（结点）-->右子树）
		if(root==null){
			return;
		}
		inOrderprintTree(root.left);//左子树
		System.out.print(root.val+" ");//根结点
		inOrderprintTree(root.right);//右子树
	}

后序遍历：

      //打印一课树(后序)使用递归的方法
	public void postOrderprintTree(TreeNode root){
		//后序（左子树-->右子树-->root(结点)）
		if(root==null){
			return ;
		}
		postOrderprintTree(root.left);//左结点
		postOrderprintTree(root.right);//右结点
		System.out.print(root.val+" ");//根结点
	}

3、得到一棵树的深度：

        //得到一棵二叉树的深度
	public int length(TreeNode root){
		int depth_left;
		int depth_right;
		if(root == null){
			return 0;
		}
		depth_left=length(root.left);
		depth_right=length(root.right);
		return depth_left>depth_right?depth_left+1:depth_right+1;
	}

4、向查找二叉树中插入一个节点：

	/*插入一个项*/
	private TreeNode insert(int x,TreeNode t){
		if(t==null){
			t=new TreeNode(x,null,null);
		//通过判断，插入的节点在左边还是在右边
		}else if(x<t.val){
			t.left=insert(x,t.left);
		}else if(x>t.val){
			t.right=insert(x,t.right);
		}
		return t;
	}

5、删除一个节点：

 //删除指定的项，并返回当前删除的项,递归算法
	private TreeNode remove(int x,TreeNode t){
		if(t==null){
   			return t;
		}
		if(x<t.val){
			t.left=remove(x,t.left);
		}else if(x>t.val){
			t.right=remove(x,t.right);
		}else if(t.left!=null&&t.right!=null){
			t.val=findMin(t.right)val;
			t.right=remove(x,t.right);
		}else{
			t=(t.left==null)?t.left:t.right;
		}
		return t;
	}

/*找到一棵树的最小项（其实就是找到最左边的项）*/
	private TreeNdoe findMin(TreeNode t){
		if(t==null){
			return null;
		}else if(t.left==null){
			return t;
		}else{
			return findMin(t.left);
		}
	}

八、AVL 树：表示树是带平衡(balance)条件的二叉查找树。这个平衡条件必须是容易保持，而且必须保证树的深度是O(logN)。最简单的方法是要求左右子树具有相同的高度;或者每个节点都必须要有相同的高度。一棵AVL树是其一个节点的左子树和右子树高度差最多为1的二叉查找树。

AVL平衡树                 非AVL平衡树