大整数模幂转换成模乘的原理与实现

快速幂算法

将模幂运算转换为模乘运算的主要依据是快速幂算法（Exponentiation by Squaring），结合模运算的性质。以下是详细的数学依据和步骤：

1. 模运算的基本性质

• 乘法性质：

  

  
  这意味着在模运算中，乘法可以分步取模，避免中间结果溢出。
• 幂的展开：
  任何指数 e可以表示为二进制形式，例如

  

  从而将幂运算分解为多次平方和乘法。

2. 快速幂算法的核心思想

计算 a mod m 时，通过将指数 e 表示为二进制，将问题转化为一系列平方和乘法操作：

• 从最低位到最高位逐位处理指数 e。
• 每次迭代时：

1. 1. 平方当前基数：

      

      （对应指数位的权重翻倍）。
   2. 如果当前二进制位为1，则乘到结果中：

      

      。

3. 为什么能转为模乘？

• 快速幂算法将幂运算拆解为多个模平方和模乘步骤，每一步的中间结果都通过模运算保持较小规模，避免直接计算大数幂。
• 依赖的数学定理：

• • 模运算的分配律（如上所述）。
  • 二进制分解的合法性（任何整数可唯一表示为二进制）。

模幂转模乘的依据是快速幂算法和模运算的乘法分配律，通过二进制分解指数，将幂运算转化为一系列可模的平方和乘法操作，显著降低计算复杂度（从 O(e)降到 O(log⁡e)

实现