哈夫曼树

经典的合并果子问题

（有n堆果子，每堆果子的质量已知，现在需要把这些果子合并为一堆，但是每次只能把两堆果子合并在一起，同时会消耗与两堆果子质量之和等值的体力，显然，在进行n-1次合并后，就只剩下一堆了，为了尽可能节省体力，请设计出合并的次序方案，使得耗费的体力最少，并给出消耗的体力值）

树的带权路径长度

 

树的带权路径长度等于它所有叶子结点的带权路径长度之和。

叶子结点的带权路径长度等于把叶子结点的权值乘以其路径长度的结果。

 

于是合并果子问题就转化为：已知n个数，寻找一棵树，使得树的所有叶子结点的权值恰好为这n个数，并且使得这颗树的带权路径长度最小。带权路径长度最小的树被称为哈夫曼树（又称为最优二叉树）

显然，对同一组叶子结点来说，哈夫曼树可以是不唯一的，但是最小带权路径长度一定是唯一的。

 

 

构造哈夫曼树的步骤

 

1. 初始状态下共有n个结点（结点的权值分别是给定的n个数），将它们视作n颗只有一个结点的树
2. 合并其中根结点权值最小的两颗树，生成两棵树根结点的父节点，权值为这两个根结点的权值和，这样树的数量减少了一个
3. 重复操作2，直到只剩下一颗树为止，这颗树就是哈夫曼树

 

哈夫曼树的特点

 

对哈夫曼树而言，哈夫曼树不存在度为1的结点，并且权值越高的结点相对来说就越接近根结点

 

 

在很多实际的场合下，并不需要真正的去构建哈夫曼树，只需要了解哈夫曼树的思想即可。也就是反复选择两个最小的元素，合并，直到只剩下一个元素。于是，一般可以用优先队列（也可以说是堆结构）来执行这种策略。以合并果子为例，初始状态下将果堆的质量压入优先队列（小顶堆），之后每次从优先队列中取出两个最小哦啊的数，将它们相加并重新压入优先队列（需要在外部定义一个变量ans,将相加的结果累加起来），重复直到优先队列中只剩一个数，此时就得到了消耗最小的体力ans，并且方案也可以在这个过程中实现。

合并果子问题的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//代表小顶堆的优先队列
priority_queue<long long,vector<long long>,greater<long long> >q;
int main(){
	int n;
	long long temp,x,y,ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%lld",&temp);
		q.push(temp);//压入优先队列 
	}
	while(q.size()>1){
		x=q.top();
		q.pop();
		y=q.top();
		q.pop();
		q.push(x+y);//取出堆顶元素，求和后压入优先队列
		ans+=(x+y);//累计求和的结果 
	}
	printf("%lld\n",ans);//ans即为消耗的最小体力
	return 0; 
}