线段树

void modify(int p, int l, int r, int x, int v)
{
    s[p] += v;
    if (l == r) return; //叶结点则退出
    int mid = (l + r) / 2;
    if (x <= mid) //判断x在左儿子还是右儿子
        modify(p * 2, l, mid, x, v);
    else
        modify(p * 2 + 1, mid + 1, r, x, v);
}

也可以push_up，将儿子节点的信息更新到父亲节点

void up(int p)
{
    s[p] = s[p * 2] + s[p * 2 + 1];
}

void modify(int p, int l, int r, int x, int v)
{
    if (l == r)
    {
        s[p] += v;
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    if (x <= mid)
        modify(p * 2, l, mid, x, v);
    else
        modify(p * 2 + 1, mid + 1, r, x, v);
    up(p);
}

查询的区间[x,y]划分为线段上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需的信息

n=10，x=3,y=6,即我们需要求出A3+A4+A5+A6;

而区间[3,6]的信息，刚好由线段树上区间[3,3],[4,5],[6,6]合并得到

线段树上每层节点最多会被选取两个，一共选取的结点数也是O(logn)的，因此查询的时间复杂度也是O(logn).

int query(int p, int l, int r, int x, int y)
{
    if (x <= l && r <= y) return s[p];//若该结点被查询区间包含
    int mid = (l + r) / 2, res = 0;
    if (x <= mid) res += query(p * 2, l, mid, x, y);
    if (y > mid) res += query(p * 2 + 1, mid + 1, r, x, y);
    return res;
}

 

线段树的模板如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX_N=10010;
int s[4*MAX_N];
void up(int p){//合并左右两个子节点的区间 可以改成维护区间最大值、最小值
    s[p]=s[p*2]+s[p*2+1];
}
//修改区间上某个单点值
void modify(int p,int l,int r,int x,int v){
    //plr为当前更新到的结点、左右端点、x为需要修改的叶子结点左端点，v为要增加的值
    if(l==r){
        //若当前更新点的左右端点相等即到叶子节点时，直接更新信息并返回
        s[p]+=v; //这里为单点更新修改值，可以根据题目改成赋值
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid){
        modify(p*2,l,mid,x,v);
    }else{
        modify(p*2+1,mid+1,r,x,v);
    }
    up(p);
}
int query(int p,int l,int r,int x,int y){
    //plr为当前更新到的结点，左右端点、xy为要查询的区间
    if(x<=l&&r<=y){
        return s[p];
    }
    int mid=(l+r)/2,res=0;
    if(x<=mid){
        res+=query(p*2,l,mid,x,y);
    }
    if(y>mid){
        res+=query(p*2+1,mid+1,r,x,y);
    }
    return res;
}
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    //输入n个数，并将这些数更新到线段树的结点中
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int d;
        cin>>d;
        modify(1,1,n,i,d);
    }
    //输入查询个数
    int q;
    cin>>q;
    while(q--){
        int d,x,y;
        cin>>d>>x>>y;
        if(d==0){
            modify(1,1,n,x,y);
        }else{
            cout<<query(1,1,n,x,y)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

上面讲过线段树的单点更新方法以及区间的查询操作。同理，区间更新也可以分割成若干个子区间，每层的结点至多选取两个，时间复杂度为O(logn)

下面的代码就是线段树区间更新的一个例子

void up(int p)
{
    if (!p) return;
    s[p] = s[p * 2] + s[p * 2 + 1];
}

void down(int p, int l, int r)
{
    if (col[p])
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        s[p * 2] = col[p] * (mid - l + 1);
        s[p * 2 + 1] = col[p] * (r - mid);
        col[p * 2] = col[p * 2 + 1] = col[p];
        col[p] = 0;
    }
}

void modify(int p, int l, int r, int x, int y, int c)
{
    if (x <= l && r <= y)
    {
        s[p] = (r - l + 1) * c;  //仅修改该结点
        col[p] = c;  //增加标记，子结点待修改
        return;
    }
    down(p, l, r);  //下传lazy标记
      int mid = (l + r) / 2;
    if (x <= mid) modify(p * 2, l, mid, x, y, c);
    if (y > mid) modify(p * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, c);
    up(p);
}

注意到：push_down一般在访问子节点前执行，起到下传懒惰（延迟)标记的作用

push_up在访问完子结点后执行，将两个区间的信息合并起来，得到该区间的信息。

线段树区间更新的模板

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAX_N = 10010;
int s[4 * MAX_N],col[4 * MAX_N];

void up(int p){
    s[p] = s[p * 2] + s[p * 2 + 1];
}

void down(int p, int l, int r){
    if(col[p]){
        int mid = (l + r) / 2;
        s[p * 2] += col[p] * (mid - l + 1);
        s[p * 2 + 1] += col[p] * (r - mid);
        col[p * 2] += col[p];
        col[p * 2 + 1] += col[p];
        col[p] = 0;
    }
}

void modify(int p,int l,int r,int x,int y,int c){
    if(x <= l && r <=y){
		s[p] += (r - l + 1) * c;
        col[p] += c;
        return;
    }
    down(p, l, r);//延迟标记
    int mid = (l + r)/2;
    if(x <= mid){
        modify(p * 2, l, mid, x, y, c);
    }
    if(y > mid){
        modify(p * 2 + 1, mid + 1,r,x,y,c);
    }
    up(p);
}

int query(int p,int l,int r,int x,int y){
	if(x <= l && r <= y){
        return s[p];
    }
    down(p,l,r);
    int mid = (l + r) / 2, res = 0;
    if(x <= mid){
		res += query(p * 2, l,mid,x,y);
    }
    if(y > mid){
        res += query(p * 2 + 1,mid + 1,r,x,y);
    }
    return res;
}

int main() {
	int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int d;
        cin>>d;
        modify(1,1,n,i,i,d);
    }
    int q;
    cin>>q;
    while(q--){
		int d,x,y,c;
        cin>>d>>x>>y;
        if(d == 0){
			cin >> c;
            modify(1,1,n,x,y,c);
        }else{
            cout<< query(1,1,n,x,y)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}