hdu-6222-佩尔方程 or 规律打表

最新推荐文章于 2020-02-27 18:57:45 发布

alusang

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分类专栏： HDU

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/alusang/article/details/81266923

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这个题要说的东西太多了。

1.可以根据题意暴力打表，找出规律，用Java大数打表即可，此处不多说

2.这个题是一个简单的佩尔方程，这里说一下方程的几个特点，不证明

佩尔方程的一般形式为 $x^2-d*y^2=1$

其中，d>1且d不是完全平方数，当d为完全平方数时，只有 $(\pm 1,0)$ 这一组特解

如果(x1,y1)，(x2,y2)为方程的两组解，那么(x1*x2+d*y1*y2, x1*y2+x2*y1)也是方程的一组解

方程解的递推公示为： $x_{n}=x_{n-1}*x_{1}+y_{n-1}*y_{1}*d , y_{n}=x_{n-1}*y_{1}+y_{n-1}*x_{1}$

因此可以打表或者矩阵快速幂解决。

关于如何求解佩尔方程的最小特解，可以用连分数法=>https://blog.youkuaiyun.com/wh2124335/article/details/8871535?locationNum=14&fps=1

3.首先根据题意设a=t-1，b=t，c=t+1，这样我们可由海伦凯勒公式得到

$p=\frac{3}{2}t$ $s=sqrt(3*(\frac{t}{2})^2*[(\frac{t}{2})^2-1])$

那么要想使得s为整数，就要使 $[(\frac{t}{2})^2-1]$ 等于3乘以一个平方数

所以我们设 $x^2=(\frac{t}{2})^2$ $[(\frac{t}{2})^2-1]=3*y^2$

于是得到 $x^2-3*y^2=1$ d=3

根据题意可知最小特解为x=2，y=1，到此为止用Java大数打表即可。

4.大数中用到了compareTo()这个函数，用来比较两个相同类型的数据的，相同返回0，大于返回1，小于返回-1。

PS:第一次用插入公式，好累啊QAQ

import java.math.*;
import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main{//Java学的不好，静态函数静态数据都忘了QAQ
    static BigInteger x[]=new BigInteger[128];
    static BigInteger y[]=new BigInteger[128];
    static BigInteger t[]=new BigInteger[128];
    static void ini(){
        x[1]=BigInteger.valueOf(2);
        y[1]=BigInteger.valueOf(1);
        t[1]=BigInteger.valueOf(4);
        for(int i=2;i<122;i++){
            x[i]=x[i-1].multiply(x[1]).add(y[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(3)));
            y[i]=x[i-1].multiply(y[1]).add(x[1].multiply(y[i-1]));
            t[i]=x[i].multiply(BigInteger.valueOf(2));
        }
    }
    public static void main(String[] args){
        Scanner in=new Scanner(System.in);
        int T=in.nextInt();
        BigInteger n;
        ini();
        while(T!=0){
            T--;
            n=in.nextBigInteger();//get it
            for(int i=1;i<=121;i++){
                if(n.compareTo(t[i])!=1){//n小于等于t[i]
                    System.out.println(t[i]);
                    break;
                }
            }
        }
    }
}