59、高维学习的方法与实践

高维学习的方法与实践

在高维学习领域，不同的方法有着各自的特点和应用场景，但也存在一些共性的问题。例如，自组织映射（SOMs）和多维尺度分析（MDS）等方法虽然能得出结果，但在确定不确定性方面存在困难。这意味着我们难以评估这些结果的优劣，除了检查鲁棒性或进行建模，但建模通常较为困难，鲁棒性也只能通过输入变体重新运行程序进行非正式检查。

多元正态分布练习

考虑从多元正态分布 $N(\mu_i, \Sigma)$ 中抽取的 $n$ 个独立结果 $Y_i$，其中 $\mu_i = B^T x_i$，$B$ 是 $q \times p$ 矩阵，$x$ 是 $p$ 维向量。设 $X$ 为设计矩阵，即 $n \times p$ 矩阵，其行由 $x_i^T$ 给出，且假设 $X$ 是满秩的。
1. 确定预测准则 ：对于给定的设计点 $x_0$，确定 $B^T x_0$ 是 $Y_0$ 的良好点预测器的准则，并验证该准则是否满足。
2. 证明估计器的有效性 ：即使在多元情况下，$\hat{B} = (X’X)^{-1}X^TY$（其中 $Y = (y_1, \cdots, y_n)$ 是 $n \times q$ 矩阵）仍然是 $B$ 的良好估计器。
3. 计算协方差矩阵 ：求出 $\hat{B}^T x_0$ 的协方差矩阵。
4. 给出置信区间 ：给出形如 $c^T y_0$（其中 $c = (c_1, \cdots, c_q)$）的线性组合的置信区间。

主成分分析的特殊情况

主成