14、样条平滑：理论、方法与应用

样条平滑：理论、方法与应用

1. 样条平滑基础

在统计分析中，样条平滑是一种重要的非参数估计方法，用于处理数据中的噪声和局部波动。首先，我们来看一个关于积分的推导：
[
\begin{align }
Q&=\int_{a}^{b} s’‘(t)h’‘(t)dt \
&=\int_{a}^{b} s’‘(t)(z’‘(t)-s’‘(t))dt \
&= s’‘(t)h’(t)\big| {a}^{b} - \int {a}^{b} s’‘’(t)h’(t)dt \
&= s’‘(b)h’(b)-s’‘(a)h’(a)-\sum_{i} \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} s’‘’(t)h’(t)dt \
&= s’‘(b)h’(b)-s’‘(a)h’(a)-\sum_{i = 1}^{n - 1} \delta_{i}[h(t_{i + 1})-h(t_{i})]
\end{align }
]
当端点条件 (s’‘(a) = s’‘(b) = 0) 且 (s(t)) 和 (z(t)) 连续时，对于所有的 (i) 有 (h(t_{i + 1}) = h(t_{i}))，因此 (Q) 的所有项都为 0。

1.1 回归中的平滑样条

在回归分析中，插值虽然能通过所有数据点，但从统计角度看，由于数据中的噪声会导致插值函数出现快速的局部波动，因此并不理想。我们转而考虑平滑样条，目标是证明惩罚最小二乘目标函数的最优解是三次平滑样条。

惩罚最小二乘目标函数为：
[