5、量子与贝叶斯推理模型对比及宏观构型的类量子表示

量子与贝叶斯推理模型对比及宏观构型的类量子表示

量子理论的抽象数学基础并不局限于物理学，它可作为广义概率论应用于物理学之外的领域。本文将探讨量子推理模型与贝叶斯推理模型的对比，以及宏观构型的类量子表示。

量子推理的基础概念

在测量后，推理状态 |Z〉 会处于特定位置，如 |Z|x〉 = P(X = x)|Z〉 / ||P(X = x)|Z〉|| 。用 |zj〉 定义的坐标可表示为 (α|x) = P(X = x)⋅α / ||P(X = x)⋅α||，且 ||α|x||² = 1 。这里 P(X = x) 是投影算子在 |zj〉 基下的矩阵表示。给定该状态，用测量 X 再次得到结果 x 是确定的，即 q( X = x) = ||P(X = x)⋅(α|x)||² = 1 。

若用 |z’j〉 定义的坐标考察同一状态，(β|x) = U⋅(α|x)，由于 U 是酉矩阵，||(β|x)||² = ||U⋅(α|x)||² = 1 。测量 Y 得到结果 y 的概率为 q(Y = y) = ||P(Y = y)⋅(β|x)||² ，且 q(Y = y) < 1 。这表明若 X 和 Y 不相容，当确定 X 的结果时，对 Y 的结果就会不确定。

希尔伯特空间的构建

我们依据狄拉克的原理构建希尔伯特空间。用于表示所有 T 个测量的希尔伯特空间维度 N 由最多 K ≤ T 个相互兼容的测量确定。不相容测量是一组兼容测量的酉变换，它们处于同一空间，不会增加希尔伯特空间的维度。

若所有测量都相互兼容（K = T），则可用同一组基向量表示所有 T 个测量的事件，这是经典概率论的关键假设。实际上，当所有测量都兼容时，量子概率和经典概率