24、量子游戏与组织P系统的计算与通信能力

量子游戏与组织P系统的计算与通信能力

1. 量子游戏中的通信与计算

1.1 量子游戏中的相位信息

在量子游戏里，狱卒测量到状态 |01⟩ 时，依据特定规则，爱丽丝获得收益 0，鲍勃获得收益 5。从这些收益中，爱丽丝能知晓鲍勃对其量子比特的变换为 |0⟩ → -|1⟩ 和 |1⟩ → |0⟩，鲍勃也能了解爱丽丝对其量子比特的变换是 |0⟩ → |0⟩ 和 |1⟩ → -|1⟩。这表明狱卒返还给每个囚犯的收益包含了每个量子比特的相位信息，借助这种方式，在量子游戏中就能够区分相位差异。

1.2 量子游戏解决计算问题

存在这样一个计算问题：有 M 个囚犯，每个囚犯 Pi 拥有一个数字 bi ∈ {0, 1}，n 为任意整数。要在以下条件下确定所有 bi 之和除以 2n 的余数：
- 囚犯之间不能相互交流。
- 囚犯只能将自己的量子比特发送给狱卒。
- 每个囚犯知道囚犯的总数。
- 狱卒不能测量囚犯发送的量子比特，即狱卒无法得知任何量子比特的测量结果，每个囚犯只能知道自己量子比特的测量结果。

为解决此问题，定义了以下算子和状态：
- (J = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j = 1}^{M} I + \frac{i}{\sqrt{2}} \sum_{j = 1}^{M} \sigma_x)
- (J^ = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j = 1}^{M} I - \frac{i}{\sqrt{2}} \sum_{j = 1}^{M} \sigma_x)
- (\phi_{in} = J \sum_{j = 1}^{M}