zhucheng关于2006上海I题的结论及证明

题目意思是给出N和素数P，求杨辉三角第N行中能被P整除的数的个数。
　　结论是将N写成P进制数N0N1N2....Nm，答案就是(N+1)-(N0+1)*(N1+1)*...(Nm+1)。
　　证明如下: 组合数C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)不被被素数P整除的充要条件是n!含有因子P的个数等于m!和(n-m)!含有因子P的个数之和。
　　对任意正整数n，n!含有的素数因子P的个数为n/p+n/p^2+n/p^3......那么当且仅当满足
n/p+n/p^2+....=m/p+m/p^2+... + (n-m)/p+(n-m)/p^2+.... (1)时C(n,m)才不被P整除。
　　(1)等价于对任意i都有n/p^i=m/p^i+(n-m)/p^i (2)
　　(2)又等价于 m%(p^i)<=n%(p^i) (3)对任意正整数i都成立。
　　将n和m分别写成P进制数
　　n0,n1,n2,n3,n4,.... m0,m1,m2,m3,m4,....
　　容易得到(3)成立的充要条件就是
　　m0<=n0, m1<=n1 ....
　　所以m的可取值个数就是(n0+1)*(n1+1)*(n2+1)......