Alicty的博客

地图上每个坐标点 \((x, y)\)（如广州 \(113^\circ\text{E}, 23^\circ\text{N}\)），对应唯一温度 z（如 30℃），记为 \(z = f(x, y)\)。定义域：地图上 “能标注的点”（比如陆地，排除海洋等无效区域）。因变量 z：温度值，唯一确定（一个坐标点不会同时有两个温度）。题目：求 \(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} + \sqrt{x^2 - 1}\) 的定义域。通俗分析。

(\begin{matrix} \textbf{向量基本概念} & \to & \textbf{线性运算（加减、数乘）} & \to & \textbf{数量积（标量，垂直条件）} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \textbf{空间坐标表示} & \to & \textbf{向量积（向量，平行条件）} & \to & \textbf{应用（距离、面积、位置关系）} \end{matrix}\)

通过理解 “阶数越高，需要的条件越多，解法越复杂”，以及 “指数函数的导数性质是简化方程的关键”，就能明白为什么不同阶数的微分方程要用不同的方法啦！

例：方程 \(\frac{dy}{dx} = x y\) 中，\(y=0\) 也是解，而通解 \(y=Ce^{\frac{x^2}{2}}\) 中当 \(C=0\) 时包含 \(y=0\)，所以不用额外考虑。例：\(\frac{dy}{dx} = x y\)（\(f(x)=x\)，\(g(y)=y\)）。例：\((y''')^4 + (y')^2 = x\) 是三阶方程（最高阶是 \(y'''\)）。例：已知 \(y'' + y = 0\)，\(y(0)=1\)，\(y'(0)=0\)，求特解。