五大算法基本思想—分治，动态规划，贪心，回溯，分支界限

一、算法理解

　　算法是什么，即是按照一定的步骤，一步步去解决某个问题，解决问题的方法步骤就称为算法，例如数学中我们学过的做一个运算，解一个方程，等等，都需要有一个清晰的思路，一步步地去完成。可以说算法就在身边。

　　算法和计算机有什么关系，计算机它是机器，没有人类的大脑可以思考，但是它怎么完成我们交给他的人物的呢，就是通过算法（当然是人为预先设计好的），计算机解决任何问题都要依赖于算法，没有算法也就没有计算机。

　　为了计算机能更好更有效率的运行，算法就必须足够好，既要正确易理解，又要可靠效率。下面来研究经常用到的算法设计。

二、算法基本思想

1、分治法

    分治，分而治之。将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。

需要注意子问题的两个规则：

1、平衡子问题：就是是各个子问题的规模大致相同

2、独立子问题：各子问题之间相互独立，如果不独立，还需要分解子问题。

例图：

如何分解大问题，计算子问题的解呢？

例：

当n>1时，想求得T(n)，必须知道T(n-1)，以此类推，所以要想求得T(n)就必须将T(n)分解，从最小的子问题开始计算，最终求得T(n)，这个过程就是一个递归。

递归技术在在算法设计中经常使用。递归详解

其实分治法就是一个把大的难得问题，分解成小的子问题，解决了小问题，大问题也就不是问题。这就像任务分解一样。

2、动态规划法

    动态规划法和分治法类似，它也是将大问题分解成子问题求解，不同的是，如果分解的子问题有很多是相同的，采用分治法相同的子问题会求解多次，是不是很影响效率；动态规划法呢，它会保存已解决的子问题的答案，再有相同的子问题直接用保存的答案就行了，节省了很多计算时间。

例图：

相同子问题怎么产生的？

例：

解：我们先求F(5)的解，如下，以二叉树的结构表示

    通过二叉树，我们注意到，F(n)是通过计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。通过下面的表会发现：后一个数等于前面两个数的和。（这就是著名的斐波那契数）

所以，使用动态规划法的情况，对于一个问题具有的性质可以总结为：最优子结构，重叠子问题

 

最优性问题

动态规划法通常用于求解最优性问题，这类问题中，可能会有许多可行解，我们希望找出最优的那个。动态规划法就能找出其中的最优解（最优解可能不止一个）。如下图：

从A到C，经过I和II，肯定是AC的最优解。

例：

0-1背包问题

　　有5个物品，其重量分别是X{2, 2, 6, 5, 4}，价值分别为W{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。求选择装入的物品，使装入的物品总价值最大？

　　根据问题要求，有一个约束条件是总容量必须<=10，需求解决的问题就是在不超过总容量的情况下使总价值最大。

　　具体算法暂时不求了，这里只讲算法的基本思想。

三、分治和动态规划小结

　　算法终究是要解决实际问题的，所以通过结合实际问题更能理解每个算法，算法的基础和重点在其思想，当然具体的实现更让人头疼，尤其是数学公式以及代码实现让人晕圈。后面两个算法马上回来。