在开始之前，需要注意两个点，一个是堆（一种二叉树，后续会详细介绍），另一个则是链式二叉树
1. 树的概念及结构
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
关于树,还有相当多关联的概念需要知道
命名经验：树+亲缘关系
结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：K、L、F、G…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B、C、D、E…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：K、M互为堂兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的一些特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的
- 注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild;//第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother;//指向其下一个兄弟结点
DataType data;//结点中的数据域
}
2. 二叉树概念
1. 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在二叉树中，有两种比较特殊，需要关注的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
2. 二叉树性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点
- 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
- 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n_0，度为2的分支结点个数为n_2，则有n_0＝n_2＋1
- 若规定根结点层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log以2为底，n+1为对数
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
3. 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构
顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆后面会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前学习中一般都是二叉链，后面涉及高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链
3. 二叉树顺序结构及实现
现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
使用顺序结构存储有一个好处在于可以利用下标计算父子关系：
假设父亲结点在数组中的下标：i
左孩子在数组中的下标：2*i+1
右孩子在数组中的下标：2*i+2
假设孩子在数组中的下标：j
那么父亲在数组中的下标：(j-1)/2
不区分左右孩子，因为奇偶/2保留的是同一结果
当然，这并不适用于非完全二叉树，不过非完全二叉树也不建议使用顺序结构来存储
1. 堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K={k_0，k_1，k_2，…，k_(n-1)}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：K_i<=K_(2*i+1)且K_i<=K_(2*i+2)(K_i>=K_(2*i+1)且K_i>=K_(2*i+2))i=0，1，2…，（即任何一个父亲>=孩子 或者 <=孩子）则称为小堆(或大堆)。
将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆
堆的性质：
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
- 堆总是一棵完全二叉树
- 未必有序，兄弟之间无必然顺序
应用：TOP-K问题，堆排序问题
2. 堆的实现
向下调整
给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整
// 例子
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
与之相应的还有向上调整的算法，逻辑是类似的，不过时间复杂度会比向下调整高
堆的创建
给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在通过算法，把它构建成一个堆。
调整方法：从倒数的第一个非叶子结点（从数组下标看，就是n/2-1）开始向下调整，一直调整到根结点（下标0），就可以调整成堆
堆的插入
在数组尾插入数据，再执行向上调整即可
堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再对新的根进行向下调整
3. 堆的应用
堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤
- 建堆
- 升序：建大堆
- 降序：建小堆
- 利用堆删除思想来进行排序（堆顶是最大/最小的，与堆尾交换，完成一趟排序，新的堆顶重新调整即可）
TOP-K问题
求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
- 用数据集合中前K个元素来建堆
- 前k个最大的元素，则建小堆
- 前k个最小的元素，则建大堆
- 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
比方说要求最大的前十个数，建一个10个空间的小堆，可以保证的是，只要是最大的前十个数来比较时，它一定会比堆顶的元素大，从而入堆，进行调整
4. 二叉树链式结构及实现
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType _data;
struct BinaryTreeNode* _left;
struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
对于任意一个节点来看，无非就是，根，左子树，右子树，用类似递归的思想来理解有助于后续相关操作的实现
1. 遍历
二叉树的常见遍历包括前序遍历、中序遍历、后序遍历，此外还有层序遍历
这里的前中后强调的是根节点的访问先后
前序：根、左、右
中序：左、根、右
后序：左、右、根
前中后序遍历的代码实现很简单，运用递归思想
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType _data;
struct BinaryTreeNode* _left;
struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
cout << root->_data;
if (root->_left) {
BinaryTreePrevOrder(root->_left);
}
if (root->_right) {
BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
if (root->_left) {
BinaryTreeInOrder(root->_left);
}
cout << root->_data;
if (root->_right) {
BinaryTreeInOrder(root->_right);
}
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
if (root->_left) {
BinaryTreePostOrder(root->_left);
}
if (root->_right) {
BinaryTreePostOrder(root->_right);
}
cout << root->_data;
}
层序遍历：从左往右，从上往下遍历
思路：利用队列，每出一个队首，将其子节点（如果存在）加入队列中，实现层序遍历
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
if (!root) { return; }
queue<BTNode*>que;
que.push(root);
while (!que.empty())
{
BTNode* temp = que.front();
if (temp->_left) {
que.push(temp->_left);
}
if (temp->_right) {
que.push(temp->_right);
}
cout << temp->_data;
que.pop();
}
}
2. 其他操作
如下：
// 二叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树的高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
// 建树（以前序序列为例）
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 删树
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断是否为完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
// ...
一时比较难想到的可能是判断完全二叉树：
- 层序遍历思路，将子节点为空的情况也入队
- 当遇到第一个空节点时，判断队列中是否全为空
- 是则为完全二叉树，相反则不是
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