AiryCloud的博客

注意，双指针算法的时间复杂度是O(n),也就是i和j都不会重复扫到一个元素，这里区别于双重循环的O(n^2)，在双重循环中，我们的i或者j是有可能一个元素扫描好几次的，一般是n次或者n(n-1)/2或者n(n+1)/2，这里看具体算法了。(许多人认为一层循环嵌套另一层循环，那么时间复杂度就是O(n^2),其实不然，也就是因为这是错误理解，时长分不清双指针和暴力的区别)

差分序列的构建是为了在原序列中进行一系列的修改操作，而不需要对整个序列进行逐个修改。通过修改差分序列中的某些元素，可以在后续进行前缀和运算时，将修改操作应用到原序列的相应位置上。在一个区域[l,r]插入值的时候呢，通过操作b[i]来做出原数组，这是很棒的想法。我们只需要假设原序列b[i]为0，S[i]也为0，然后输入的值就是插入到前缀和序列中的值，这时候我们只需要通过上面的公式改变原序列的值，通过对差分序列进行逐个累加，可以得到原序列的前缀和序列。

前缀和（prefix sum）是一种常用的数据处理技巧。在一个数列中，前缀和指的是从数列开始到当前位置的所有数的和。也就是说，前缀和是一个新的数列，其第i个元素是原始数列中前i个元素的和，前缀和有可以分为一维前缀和和二维前缀和，一维指的是一个序列，二维指的是一个矩阵的一部分子矩阵的数的和。

在进行大整数运算中，因为在C++/C中整数最大也就是unsigned long long也就才(1e19+8e18)位，如果要几百位的相加减就不行了，所以就要用高精度了，这里只在C++/C上使用有价值，在例如python、Java语言上无需写此算法，python可以无限大，Java里有相关库可以引入。

如我们需要在下面的序列中找出第一次出现3的位置和最后一次出现3的位置，且找出第一次出现3位置之前的第一个元素2的位置，最后一次出现3的位置的下一个元素4的位置下标。设有q[N]数组,在算法开始时，l的指针是指向-1的，而不是0,且r初始化为n,而不是n-1因为在最初，我们是不知道数组里面元素的任何值的，不知道哪些是蓝色区域，哪些是红色区域。二分查找中，可以把l和r的指针看做是在划分两个红蓝区域，然后寻找边界目标值。同时也找到了第一次出现3位置的左边第一个元素的位置也找到了。

1.从待排序元素中间进行拆分，一直拆分到只有一个元素，2.把拆分的待排序元素进行两两合并，最后形成一个有序序序列，时间复杂度O(nlog^n)

【C++/Java】快速排序模板-分治法的应用。