n 阶贝塞尔曲线计算公式实现

n 阶贝塞尔曲线计算公式实现

关于贝塞尔曲线是什么，可以用来做什么，这里就不再介绍，如果你还不了解，可以先去看看下面这篇文章：贝塞尔曲线扫盲

1. 效果参考

2. 思路解析

百度百科上给出的一般参数公式是这样的：
给定点 P0,P1,P2, … ,Pn，其贝塞尔曲线公式如下（即贝塞尔曲线上的点 B(t) 可由如下公式计算得到）：

可以看出其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：

该表达式可分为四个部分看：

• 从 i 递增到 n 的常数部分
• Pi 坐标部分
• (1 - t)^(n - i)
• t^i
  可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)

如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧：

设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2..Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式:
如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

• N = 3: P = (1-t)^2*P0 + 2*(1-t)*t*P1 + t^2*P2
  
• N = 4: P = (1-t)^3*P0 + 3*(1-t)^2*t*P1 + 3(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3
  
• N = 5: P = (1-t)^4*P0 + 4*(1-t)^3*t*P1 + 6(1-t)^2*t^2*P2 + 4*(1-t)*t^3*P3 + t^4*P4
  

将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：
设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：
a * (1 - t)^b * t^c * Pn;

分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值：
如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 (1-t)^2*P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0

• N = 3:   1,2,0   2,1,1   1,0,2
  a: 1 2 1
  b: 2 1 0
  c: 0 1 2
• N = 4:   1,3,0   3,2,1   3,1,2   1,0,3
  a: 1 3 3 1
  b: 3 2 1 0
  c: 0 1 2 3
• N = 5:   1,4,0   4,3,1   6,2,2   4,1,3   1,0,4
  a: 1 4 6 4 1
  b: 4 3 2 1 0
  c: 0 1 2 3 4

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

• b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
• c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
• a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：
  N=1:———1
  N=2:——–1  1
  N=3:——1  2  1
  N=4:—–1  3  3  1
  N=5:—1  4  6  4  1
  a 值的改变规则为： 杨辉三角

3. 使用 java 来实现

接下来就实现它：先再来一个例子
比如计算控制点坐标分别为：P0(3,8)，P1(2,3)，P2(2,7)，想要返回 10 个在贝塞尔曲线上的点，用 java 可以这样写：

float[] p0 = {3, 8};
        float[] p1 = {4, 3};
        float[] p2 = {2, 7};
        float[][] result = new float[10][2];
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            float t = i / 10;
            result[i][0] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[0] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[0] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[0]);
            result[i][1] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[1] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[1] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[1]);
        }

好了，最后的计算方法是下面这个：

     /**
     * @param poss      贝塞尔曲线控制点坐标
     * @param precision 精度，需要计算的该条贝塞尔曲线上的点的数目
     * @return 该条贝塞尔曲线上的点（二维坐标）
     */
public float[][] calculate(float[][] poss, int precision) {

        //维度，坐标轴数（二维坐标，三维坐标...）
        int dimersion = poss[0].length;

        //贝塞尔曲线控制点数（阶数）
        int number = poss.length;

        //控制点数不小于 2 ，至少为二维坐标系
        if (number < 2 || dimersion < 2)
            return null;

        float[][] result = new float[precision][dimersion];

        //计算杨辉三角
        int[] mi = new int[number];
        mi[0] = mi[1] = 1;
        for (int i = 3; i <= number; i++) {

            int[] t = new int[i - 1];
            for (int j = 0; j < t.length; j++) {
                t[j] = mi[j];
            }

            mi[0] = mi[i - 1] = 1;
            for (int j = 0; j < i - 2; j++) {
                mi[j + 1] = t[j] + t[j + 1];
            }
        }

        //计算坐标点
        for (int i = 0; i < precision; i++) {
            float t = (float) i / precision;
            for (int j = 0; j < dimersion; j++) {
                float temp = 0.0f;
                for (int k = 0; k < number; k++) {
                    temp += Math.pow(1 - t, number - k - 1) * poss[k][j] * Math.pow(t, k) * mi[k];
                }
                result[i][j] = temp;
            }
        }

        return result;
    }

在 android 中继承 View 然后重写 onDraw 方法，在 Activity 绑定的布局文件中加入该自定义 View ，调用 calculate 方法就可以画出来任意阶的贝塞尔曲线啦。

........
    // calculate 方法在 BezierImpl 中实现
    private BezierImpl bezier = new BezierImpl();
    private Paint paint = new Paint();
    float[][] poss = {
            {353.0f, 383.0f},
            {670.0f, 266.0f},
            {403.0f, 128.0f},
            {148.0f, 369.0f},
            {400.0f, 513.0f},
            {564.0f, 503.0f},
            {582.0f, 378.0f},
            {682.0f, 878.0f},
            {182.0f, 878.0f}
    };

    @Override
    protected void onDraw(Canvas canvas) {
        float x0, y0, x, y;
        paint.setColor(Color.DKGRAY);
        paint.setStrokeWidth(3.0f);
        x0 = poss[0][0];
        y0 = poss[0][1];
        for (int i = 1; i < poss.length; i++) {
            x = poss[i][0];
            y = poss[i][1];
            canvas.drawLine(x0, y0, x, y, paint);
            x0 = x;
            y0 = y;
        }

        paint.setColor(Color.RED);
        paint.setStrokeWidth(5.0f);
        float[][] po = bezier.calculate(poss, 500);
        x0 = po[0][0];
        y0 = po[0][1];
        for (int i = 1; i < 500; i++) {
            x = po[i][0];
            y = po[i][1];
            canvas.drawLine(x0, y0, x, y, paint);
            x0 = x;
            y0 = y;
        }
    }
    ...........

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最后贴一个最近在做的一个自定义 View（GummyView），使用了到了贝塞尔曲线，用了上面的方法，有兴趣的话可以 Fork 或给我留言 >.<。
地址：DuanJiaNing/GummyView

目前实现的效果是这样的：

END