4.2 树状数组

树状数组

前言：树状数组可以解决的，线段树也可以解决，树状数组只是在一些问题上有奇效，优先建议练习时还是优先使用线段树

**本质上，解决的问题实际是$$差分数组->原始数组->前缀和数组$$这其中要使用其二或其三的一种使用树优化效率的一种方法

1. 单点修改+区间查询

const int N = 1000;
#define lowbit(x)  ((x) & - (x))
int tree[N]={0};

void update(int x, int d) {   //单点修改：修改元素a[x],  a[x] = a[x] + d
     while(x <= N) {
        tree[x] += d;
        x += lowbit(x);
     }
}

int sum(int x) {             //查询前缀和：返回前缀和sum = a[1] + a[2] +... + a[x]
    int ans = 0;
    while(x > 0){
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

2. 区间修改+单点查询

在上面的基础上，每个节点由差分数组组成

对于区间，左端L节点 $+d$,右端R+1节点$-d$

用sum求得单点值

3. 区间修改+区间查询

在上面的基础上，每个节点由差分数组组成

$$sum(L,R)=sum(1,R)-sum(1,L-1)$$

$$sum(1,R)=\sum _{i=1}^k{D}_i-\sum _{i=1}^k(i-1)D_i$$

从而实现从差分数组到前缀和的转变

4. 单点修改+区间最值

const int N = 2e5+10; 
int n,m,a[N],tree[N]; 
int lowbit(int x){return x&(-x);}

void update(int x,int value){          //更新tree[x]的最大值
    while(x<=n){
        tree[x]=value;
        for(int i=1;i<lowbit(x);i<<=1)
            tree[x]=max(tree[x],tree[x-i]);
        x+=lowbit(x);
    }
}

int query(int L,int R){               //关于区间[L，R]的最值
    int ans=;
    while(L<R){
        ans=max(ans,a[R]);
        R--;
        while(R-L>=lowbit(R)){
            ans=max(ans,tree[R]);
            R-=lowbit(R);
        }
    }
    return ans;
}