自相关函数

在统计里，两个随机变量X，Y的相关函数定义如下：

也就是两个随机变量协方差除以标准差之积。

如果X是一个时间的随机变量序列，将不同时间起始点的两个序列Xt和Xs看成两个随机变量，上面的相关函数则可表示为：

 如果Xt是一个二阶稳态过程，即均值和方差不随时间而变化。，此时相关函数只是时间差τ=s-t的一个函数，则上式可重写为：

 这就是统计学上的自相关函数。

就这么个玩意，表达了个什么意思呢？

让我们把期望展开来看，也就是当随机变量序列有样本点时：

 

而向量内积计算结果，是两个向量间夹角的余弦值。当两个向量相同时，夹角为0，而余弦值，即自相关函数取值为1。

所以，自相关函数在统计上，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。