线性代数导论22——对角化和A的幂

本文探讨了线性代数中的对角化方法及其应用，包括如何通过特征值和特征向量来理解矩阵的幂，并介绍了差分方程及斐波那契数列增长速度的计算。

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本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

第二十二课时：对角化和A的幂

Ax=λx,特征值、特征向量的应用以及 为什么需要特征值和特征向量。

对角化 S^-1AS=Λ

假设A有n个线性无关的特征向量（大前提），将他们按列组成矩阵S，S为特征向量矩阵，那么S^-1AS为对角矩阵Λ，Λ为特征值矩阵。（如果不存在n个线性无关特征向量，S的逆不存在，矩阵就不能对角化）

AS相乘，由Ax1=λ1x1得到由λixi组成的矩阵列向量。然后，把λixi分离如下图（使用列线性组合的思想做矩阵乘法），分离后AS变成S Λ， Λ正好是特征值组成的对角矩阵。AS=S Λ。这以特征向量线性无关为前提，不去关心重复的特征向量（上讲提过：有一部分矩阵，不存在n个线性无关特征向量），n个特征向量线性无关， S就可逆。有 AS=SΛ，则 S^-1AS=Λ。因此，对于大部分矩阵，存在n个线性无关向量可以对角化，这就是对角化方法。

如果对 AS=S Λ 右乘S的逆，则有 A=SΛS^-1，这是新的矩阵分解。以前有消元法中的A=LU矩阵分解，和格拉姆-施密特正交化中的A=QR矩阵（见第17课时）

A的幂

问题: A= S Λ S ^-1 ， Ax=λx，将A平方会怎样？

Ax=λx，那么A ² x=λAx =λλx= λ ²x，结论是A ² 的特征值是 λ ²，特征向量不变。

同样的，A ² = S Λ S ^-1 S Λ S ^-1= S Λ ² S ^-1，同样说明特征值是先前的平方，特征向量不变。

同样的， A^k=SΛ^kS^-1。

因此，特征值和特征向量提供了理解矩阵幂的一个好方法，如果将矩阵平方，或者取100次方，主元任意分布，A=LU搞不下去，但是A ¹⁰⁰ = S Λ ¹⁰⁰ S ^-1，特征值是计算矩阵幂的一种方法。

当A的所有特征值的绝对值小于1时，K趋向于无穷，矩阵的幂趋向于0，这样的矩阵称着稳定的矩阵。

矩阵何时可以对角化

矩阵A有n个线性无关的特征向量，矩阵A可以对角化，以上结论在所有的特征值λ不同（没有重复的特征值）时成立，因为每个特征值对应唯一的特征向量。比如matlab软件生成10×10的随机矩阵，那么肯定有10个互不相同的特征值，10个特征向量线性无关。

假设存在重复特征值，则可能但不一定存在n个线性无关特征向量。比如10×10的单位矩阵的10个特征值都是1，它有很多特征向量，可取10个线性无关的特征向量， I= SI S ^-1。如果矩阵A本来就是对角矩阵（对角矩阵的特征值就是对角矩阵对角线上的元素），那么对角化矩阵 Λ与矩阵A相同。如果矩阵A是三角矩阵，如下，特征值是两个相同的2（计算特征值重复的次数，用代数重度，此重数，就是它作为多项式根的次数，即(2-λ )² =0的根），求特征向量，零空间仅仅是一维的x=(1 0)，因为不存在两个线性无关的特征向量，因此矩阵A是不可对角化的。