0-1背包：使用滚动数组时为何要逆序枚举

最新推荐文章于 2024-10-28 17:53:09 发布

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本文通过一个具体的0-1背包问题实例，详细解释了如何使用动态规划解决此类问题，并介绍了如何通过滚动数组来优化空间复杂度。

问题简述：有一背包，最大体积是10，有三个物品，体积分别是3,4,5，重量分别是4,5,6，求在不超过背包体积的前提下，所放物品的最大重量是多少。

答：最大重量是11，选择的物品是2和3，其体积是9，小于背包体积10

我们已经知道，对于0-1背包问题，我们可以使用动态规划进行解决。

定义f(i,j):把前i个物品装入体积为j的背包中的最大重量

那么：f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-v[i]+w[i]}

根据该方程，我们可以用下面的程序解决上述问题：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h> 
using namespace std;

int main()
{
	int max_v = 10;				// 背包最大体积 
	int v[4] = {0,3,4,5};		// 体积 
	int w[4] = {0,4,5,6};		// 重量 
	int f[11][11];
	
	memset(f,0,sizeof(f));
	
	// f(i,j):把前i个物品装到容量是j的背包中的最大总重量 
	// f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-v[i]+w[i]}
	// 一定要牢记：我们要计算的是：f(3,10)  ！！！   什么意思？对我们来讲，11*11的数组，只有f(3,10)对我们来讲是有意义的，其它的空间能省则省。^_^ 
	for (int i=1; i<=3; i++)
	{	
		for (int j=0;j<=10; j++)
		{
			f[i][j] = f[i-1][j];		// 如果少了这句，当j<v[i]时，f[i][j]将不被更新，那么f[2][3]可就是0而不是4了。 
			if (j >= v[i])
			{
				f[i][j]= max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	
	// 输出
	for (int i=0; i<=3; i++)
	{
		for (int j=0; j<=10; j++)
		{
			printf("%4d",f[i][j]); 
		}
		printf("\n"); 
	}
	
	printf("The only answer we need is %d\n",f[3][10]);
}

输出结果：

对这个答案我们满意吗？

如果从最终答案的角度来讲，可以接受，毕竟我们得出了想要的解。可是，当数据量很大的时候，比如有m个物品，背包体积是n，那么我们需要定义数组为f[m][n]，其空间复杂度为O(m*n)。而诚如我们所说过的那样，我们仅仅想知道的是背包能装下的最大重量（不要求打印方案），即f[n][m]的值，那么，有必要申请n*m的数组吗？或者说，有无方法可以降低空间复杂度呢？答案是有的，即滚动数组。

观察上图，除最后一行外，其余数据是多余的.....

由f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-v[i]+w[i]}，我们可以简化为f(j)=max{f(j),f(j-v[i])+w[i]}

程序如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h> 
using namespace std;

int main()
{
	int max_v = 10;				// 背包最大体积 
	int v[4] = {0,3,4,5};		// 体积 
	int w[4] = {0,4,5,6};		// 重量 
	int f[11];
	
	memset(f,0,sizeof(f));
	
	// f(j):容量是j的背包中的最大总重量 
	// f(j)=max{f(j),f(j-v[i]+w[i]}
	for (int i=1; i<=3; i++)
	{	
		for (int j=10;j>=0; j--)  // 此处要逆序枚举容量
		{
			if (j >= v[i])
			{
				f[j]= max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
		// 输出
		for (int j=0; j<=10; j++)
		{
			printf("%4d",f[j]); 
		}
		printf("\n"); 
	}
	
	printf("The only answer we need is %d\n",f[10]);
}

输出结果：