Sigmoid 函数怎么得出来得

Sigmoid 函数，也称为逻辑函数（Logistic function），是一种在统计学和神经网络中广泛使用的函数。它起源于19世纪对人口增长的研究，特别是由比利时数学家 Pierre François Verhulst 提出的逻辑斯谛增长模型（Logistic growth model）。以下是 Sigmoid 函数的推导过程：

1. 逻辑斯谛增长模型

逻辑斯谛增长模型是对种群增长的一种描述，它考虑了环境承载力（即环境能够支持的最大种群数量）。基本的逻辑斯谛增长方程是：

����=��(1−��)dtdP​=rP(1−KP​)

其中：

• �P 是种群数量，
• �t 是时间，
• �r 是内禀增长率，
• �K 是环境承载力。

2. 分离变量

为了求解这个微分方程，我们可以进行变量分离：

���(1−��)=� ��P(1−KP​)dP​=rdt

3. 积分

对两边进行积分，我们得到：

∫1�(1−��) ��=∫� ��∫P(1−KP​)1​dP=∫rdt

为了积分左边，我们可以使用部分分式分解：

1�(1−��)=��+�1−��P(1−KP​)1​=PA​+1−KP​B​

通过求解 �A 和 �B，我们可以得到：

1�(1−��)=1�+1�−�P(1−KP​)1​=P1​+K−P1​

现在，我们可以对两边进行积分：

∫(1�+1�−�)��=∫� ��∫(P1​+K−P1​)dP=∫rdt

这将导致：

ln⁡∣�∣−ln⁡∣�−�∣=��+�ln∣P∣−ln∣K−P∣=rt+C

其中 �C 是积分常数。

4. 重写方程

我们可以将上面的方程重写为：

ln⁡(��−�)=��+�ln(K−PP​)=rt+C

进一步得到：

��−�=���+�K−PP​=ert+C

令 ��=�′eC=C′，我们得到：

��−�=�′���K−PP​=C′ert

5. 求解 �P

通过解这个方程，我们可以得到 �P 关于 �t 的表达式：

�=�1+(��′)�−��P=1+(C′K​)e−rtK​

如果我们将 �′C′ 设置为 ��0−1P0​K​−1，其中 �0P0​ 是初始种群数量，我们最终得到：

�(�)=�1+(�−�0�0)�−��P(t)=1+(P0​K−P0​​)e−rtK​

这个方程的形式就是 Sigmoid 函数。在神经网络中，通常我们使用 �=1K=1 并省略 �K 的符号，从而得到更常见的 Sigmoid 形式：

�(�)=11+�−�S(x)=1+e−x1​

其中 �x 是神经元的净输入。这个函数在神经网络中用于模拟神经元是否被激活，因为它的输出范围在 0 到 1 之间，非常适合于二分类问题。